Amplitud de la dispersión y la fórmula de LSZ

Question

Estoy llegando a una contradicción.

Para calcular la dispersión de amplitud, por lo general se sigue la receta dada por las reglas de Feynman de que sólo se considere plenamente conectado diagramas con el número requerido de entrantes y salientes externas de las piernas (Ver Peskin & Schroeder pg 111 donde dicen: Sólo completamente conectado diagramas de contribuir a la $T$ de la matriz).

Por completamente conectado, uno de los medios que considere la posibilidad de gráficos sólo a partir de la cual se puede obtener a partir de una línea a cualquier otra línea (Consulte la página 3 de este documento).

Por otro lado, tenemos la LSZ fórmula, que dice que la dispersión de amplitud está dada por el residuo (como el momenta ir en la cáscara) de la correspondiente función de correlación. Por ejemplo, en $\phi^4$ teoría, \begin{align} &\mathcal{M}(p_a,p_b \to k_1, k_2) \delta^{(4)}(p_a + p_b-k_1 -k_2) \sim \nonumber\\ &\lim_{p_a^2,p_b^2,k_1^2,k_2^2 \to m^2} (p_a^2 - m^2)(p_b^2 - m^2)(k_1^2 - m^2)(k_2^2 - m^2)G(p_a,p_b,-k_1,-k_2). \end{align}

Pero estas dos recetas, parece dar una contradicción. Considerar en $\phi^4$ teoría, el $\mathcal{M}(4 \to 4)$ de dispersión. Tenemos este diagrama (ok si alguien pudiera dibujar el diagrama que va a ser grande),

\begin{align} \text{X} \text{X} \end{align}

que consta de dos independientes $2 \to 2$ procesos de dispersión.

Este diagrama no está completamente conectado, por lo que debemos ignorar que la primera receta, sin embargo, no se evalúa a $0$ bajo la LSZ fórmula, por lo que debemos incluir.

Físicamente tiene sentido que la orden principal contribución a un $4 \to 4$ proceso, se da por dos $2 \to 2$, pero totalmente conectado con receta extraña que fuera.

Así, hay una advertencia para los completamente conectado a la regla de dibujo de los diagramas de Feynman, ya que creo que la LSZ fórmula es matemáticamente cierto y físicamente razonable?

Answer 1

T-elementos de la matriz no son de la misma como completamente conectado diagramas. Recuerde T-matriz se define como $$T=S-I,$$ donde $S$ es la S-matrix y $I$ es la matriz identidad. S-matrix parte incluye todos los posibles diagramas excepto las burbujas de vacío y unamputated diagramas. Ahora sólo tenemos que preguntar, ¿ resta de una matriz identidad eliminar todos los desconectado diagrama? Obviamente no, porque $$\langle p_1,\ldots,p_m|I|k_1,\ldots,k_n\rangle=\delta_{mn}\sum_{\sigma}\prod_i\delta^4(p_{\sigma(i)}-k_i),$$ donde $\sigma$ es una permutación de los índices, y he asumido bosones para evitar signo de los cambios sobre las permutaciones. Así, la identidad de la matriz corresponde a los diagramas con las líneas rectas no sólo desconectado, pero también que no contiene los vértices, sin embargo, la S-matrix contiene algunos desconectado diagramas que contiene los vértices, de modo que sólo una sustracción de $I$ no se los llevaran.

$2\to2$ dispersión es especial, porque si en realidad se trata de dibujar diagramas con 4 líneas externas, es desconectado y que no contiene los vértices(ya que nos han excluido las burbujas de vacío y unamputated diagramas), o simplemente completamente conectado, por lo que en este caso la sustracción de $I$ le quitas todo desconectado diagramas. Esta es la razón por $2\to2$ de dispersión, sólo tenemos que calcular completamente conectado diagramas. Peskin & Schroeder es potencialmente confuso, porque no salen nunca en las situaciones con más de 4 líneas externas.

Los libros de texto no habla mucho sobre desconectado diagramas, ya que pueden ser trivialmente calculado a partir de sus componentes conectados, este silencio podría ser otra fuente de confusiones(de nuevo, voy a abogar Weinberg aquí).

En conclusión, simplemente no hay tal cosa como "completamente conectado diagrama de prescripción"(a menos que quieras un nombre de fantasía de la $2\to2$ dispersión caso), y después de estas aclaraciones no debe haber "contradicción", como la describe OP.