Mostrar que $\Bbb Q^n \cup (\Bbb R-\Bbb Q)^n$ está conectado

Question

Tengo dificultades con este problema y no tengo no idea para mostrar esto. ¿Cómo puedo mostrar que $\Bbb Q^n \cup (\Bbb R-\Bbb Q)^n$ está conectado? Si $n=1$ es evidente porque la suma es $\Bbb R$
está conectado. ¿Pero en general?

Answer 1

Sugerencia: Dejar $E = \mathbb Q^n \cup (\mathbb R\setminus \mathbb Q)^n.$ $x\in \mathbb R^n,$ % que $L(x) = \{tx: t\in \mathbb R\}.$($L(x)$ es la línea de $\mathbb R^n$ a través del origen y $x.$) Verificar eso si $q = (q_1,\dots ,q_n)\in \mathbb Q^n$ y cada $q_k \ne 0,$ y $L(q)\subset E.$ considera la Unión de todas estas líneas.

Answer 2

Todos los puntos de $\mathbb{Q}^n$ ponen en un componente de conectividad lineal. (Línea completa de $P_1$ $P_2$ pone en su conjunto, si $P_1$ y $P_2$ no tienen coordenadas iguales. De todos modos, puede utilizar punto racional $P_3$).

Así, al contrario: su equipo es Unión de abrir-cerrar $X$ y $Y$. Que $P_1$ - racional en $X$, $P_2$ - racional punto en $Y$. QED.