Deje $k$ ser un perfecto campo de la característica $p>0$ y denotan por $W_n(k)$ el anillo de vectores de Witt $k$ de la longitud de la $n$. En su artículo sobre la descomposición del complejo de de Rham, Deligne y Illusie afirmación de que $W_n(k)$ es el único plano de elevación de $k$ $\mathbf{Z}/p^n$ (1.3). Sé cómo justificar que $W_n(k)$ satisface estas propiedades, pero no está claro para mí por qué debería ser (hasta el isomorfismo) la única satisfacción de ellos. La traducción de esto en el álgebra conmutativa, tenemos que demostrar que si $A$ es un plano $\mathbf{Z}/p^n$-álgebra de tal forma que su reducción modulo $p$ es isomorfo a $k$, luego tenemos a $A \cong W_n(k)$. Puede alguien arrojar una luz sobre esto?
Respuesta
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$\def\ZZ{\mathbb{Z}}$Casi se puede encontrar una detallada prueba en Rabinoff notas sobre vectores de Witt. Específicamente, Rabinoff demuestra que, si $k$ es un perfecto campo de char $p$, entonces no hay una única $\ZZ_p$-álgebra $R$ tal que $R$ es completa y Hausdorff en el $p$-ádico de la topología, $p$ no es un divisor de cero y $R/pR \cong k$. Voy a bosquejar cómo adaptar este trabajo con $\ZZ/p^n$ más que el $p$-adics. Este es el "folclore" que mucha gente lo sabía antes de Rabinoff, pero él es el mejor de referencia sé.
Deje $A$ $B$ dos $\ZZ/p^n$ álgebras, que son planos sobre$\ZZ/p^n$$A/pA \cong B/pB \cong k$. Para $x \in k$, elija una secuencia $a_0$, $a_1$, $a_2$, ... de elementos de $A$$a_i^{p^i} \equiv x \bmod pA$; dicha secuencia existe desde $k$ es perfecto. A continuación, $a_i^{p^i}$ es finalmente constante modulo $p^n$. (Prueba: Tenemos $a_{i} \equiv a_{i+1}^p \bmod p A$, lo $a_i^{p^i} \equiv a_{i+1}^{p^{i+1}} \bmod p^{i+1} A$ por Rabinoff del Lema 1.4.) Definir $\alpha(x)$ a ser el eventual límite de$a_i^{p^i}$$A$, y de igual manera definir $\beta(x)$ a ser el análogo límite en $B$. Estos son los análogos de Teichmuller ascensores en nuestro entorno.
A continuación, $\{ \alpha(x) \}_{x \in k}$ son un conjunto de representantes para $A/pA$, e $p^n=0$$A$, por lo que cualquier elemento de a $A$ puede ser escrito como $\sum_{i=0}^{n-1} \alpha(x_i) p^{i}$ para algunos secuencia $x_i$. Planitud de la muestra que esta expresión es única. Así que tenemos un bijection $A \longleftrightarrow k^n$$\sum_{i=0}^{n-1} \alpha(x_i) p^{i} \longleftrightarrow (x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$. Nosotros, igualmente, un bijection $k^n \longleftrightarrow B$. Necesitamos demostrar que el compuesto es un isomorfismo de anillos. I. e. tenemos que mostrar que $$\sum_{i=0}^{n-1} \alpha(x_i) p^i + \sum_{i=0}^{n-1} \alpha(y_i) p^i = \sum_{i=0}^{n-1} \alpha(s_i) p^i \ \Longleftrightarrow \ \sum_{i=0}^{n-1} \beta(x_i) p^i + \sum_{i=0}^{n-1} \beta(y_i) p^i = \sum_{i=0}^{n-1} \beta(s_i) p^i$$ y $$\left( \sum_{i=0}^{n-1} \alpha(x_i) p^i \right) \left( \sum_{i=0}^{n-1} \alpha(y_i) p^i \right) = \sum_{i=0}^{n-1} \alpha(z_i) p^i \ \Longleftrightarrow \ \left( \sum_{i=0}^{n-1} \beta(x_i) p^i \right) \left( \sum_{i=0}^{n-1} \beta(y_i) p^i \right) = \sum_{i=0}^{n-1} \beta(z_i) p^i$$
El punto es que ambos lados de la equivalencia estos son equivalentes a $s_i$ ( $z_i$ ) está dada por ciertos universal de los polinomios en la $x_i$$y_i$; véase el Teorema 1.5 en Rabinoff.
