Si $X$ es una topología de la orden y $Y \subset X$ está cerrado, ¿la topología de subespacio y topología de la orden en $Y$ coinciden?

Question

Deje $(X,<)$ ser un linealmente conjunto ordenado y dar $X$ su orden de topología. Supongamos que $Y \subset X$. Hay 2 maneras sensatas para topologise $Y$:

1. Ver $Y$ como un subespacio de $X$ y darle la correspondiente topología de subespacio $\tau_\text{ss}$.
2. Ver $Y$ como un suborden de $X$ y darle la correspondiente orden de topología $\tau_\text{ord}$.

En general, $\tau_\text{ss}$ es más fino que el de $\tau_\text{ord}$, o lo que es equivalente, el mapa de identidad $(Y,\tau_\text{ss}) \to (Y,\tau_\text{ord})$ es continua. A veces es el caso que $\tau_\text{ss} = \tau_{ord}$. Por ejemplo, si $\tau_\text{ss}$ es compacto, entonces el anterior mapa de identidad es un continuo bijection de un espacio compacto en un espacio de Hausdorff, por lo tanto, un homeomorphism.

Me gustaría saber ¿qué pasa si sólo suponemos $Y$ es cerrado en $X$. Localmente compacto $X$, el de arriba se parecen mostrar $Y$ cerrado implica $\tau_\text{ord} = \tau_\text{ss}$. Me interesaría ver un contraejemplo para general $X$ - si es que realmente existe.

Answer 1

Jajaja Por ejemplo, que $X$ ser $\mathbb{Q}$ con su pedido estándar y que $Y$ $([0,\sqrt{2}] \cap \mathbb{Q})\cup \{2\}$ de ser. Luego cerrar $Y$ $X$ pero no coinciden las dos topologías: $2$ se aísla en la topología de subespacio pero no en la topología del orden.