Hay un término exacto para $\sqrt{2+\sqrt{4+\sqrt{8+\dots}}}$

Question

Me pregunto si es posible encontrar un término exacto para el infinito anidada expresión radical del título. Tengo una muy buena aproximación con mi calculadora, pero lo que estoy buscando es un término exacto.

$$ f(x)=\sqrt{2^x+\sqrt{2^{x+1}+\sqrt{2^{x+2}...}}} $$

Es necesario que f satisface la condición: $$ f(x)^2=2^x+f(x+1) $$

EDIT: Pero no debe ser infinetely muchas de las soluciones a estas ecuaciones - además, yo no era capaz de encontrar una sola!

¿Alguien tiene una idea de cómo encontrar una exacta finito plazo - o demostrar que no término existe?

Answer 1

Relacionados será $$ g(u) = \sqrt{u+\sqrt{2u+\sqrt{4u+\sqrt{8u+\dots}}}} $$ de modo que $f(x) = g(2^x)$. Gráficamente, $g$ se parece a esto,
con $g(2) = 2.17968$ marcado. Numéricamente vemos $$ \lim_{u \to 0^+} g(u) = 1 $$ $g(u)$ es complejo (no real) por $u<0$.

$g$ satisface $g(u)^2=u+g(2u)$, lo que nos permite calcular una expansión asintótica para $u \to \infty$ $$ g(u) = u^{1/2} + \frac{1}{\sqrt{2}} +\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{4}\right)u^{-1/2} +\left(\frac{1}{8\sqrt{2}}-\frac{1}{8}\right)u^{-1} +\left(\frac{9}{32\sqrt{2}}-\frac{3}{16}\right)u^{-3/2} +O(u^{-2}) $$