Si $f(a) = g(a)$ y $f'(x) < g'(x)$ % todo $x \in (a,b)$, entonces el $f(b) < g(b)$

Question

Suponga que $f$ $g$ son continuas en a $[a, b]$ y diferenciable en a $(a, b)$.

Probar que si $f(a) = g(a)$ $f'(x) < g'(x)$ todos los $x \in (a,b)$,$f(b) < g(b)$.

Entiendo que si $f$ $g$ empezar en el mismo punto, y $g$ aumenta a un ritmo más rápido de lo $f$, tendría un mayor valor final. No estoy seguro de cómo demostrarlo.

Considere la posibilidad de $h(x)= g(x) - f (x)$ (este es el espacio entre las dos funciones)

$$\begin{align*} h(a) &= g(a) - f(a)\\ h(a) &= 0 &(\text{they are in the same spot in the beginning}) \end{align*}$$

$$\begin{align*} h'(x) &= \frac{g'(x) - f'(x)}{g(x) - f(x)}\\ h'(x) &> 0 &(\text{since } g'(x)> f'(x)) \end{align*}$$

por lo $g(x) - f(x) > 0 \implies g(x) > f(x)$?

Es esto correcto?

Answer 1

Sugerencia: Por el teorema del valor medio, $\frac{h(b)-h(a)}{b-a}=h'(c)$ $c$ entre $a$y $b$.

Answer 2

Dejando $h = g - f$ es un buen primer paso. Aplicar ahora el teorema del valor medio a $h$ tener en cuenta que $x \in [a, b]$, $$h'(x) = \frac{h(b)-h(a)}{b-a},$$ or equivalently $% $ $g'(x)-f'(x)=\frac{g(b) - f(b) - g(a) + f(a)}{b-a}.$porque hemos asumido que $g'(x) > f'(x)$, sabemos que el $g'(x) - f'(x)$ es positivo, y por lo tanto, también lo es el lado derecho de esta ecuación. Así que ahora tenemos

$$0 < \frac{g(b)-f(b)-g(a)+f(a)}{b-a} \implies0<g(b)-f(b)-g(a)+f(a).$$

Ya que sabemos que $g(a) = f(a)$, ahora podemos decir %#% $ #%