¿Qué es

Question

Qué is $$\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \left(0, {1\over n}\right)?$$ I suspect it is the empty set, and we would see this by using the Archimedean property of $\mathbb{R}$ o algo así, pero no tengo ni idea de cómo probarlo. ¿Alguien me puede ayudar? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Tienes razón: es un conjunto vacío. Para demostrar esto, supongamos que no es vacío, es $\exists x\in\mathbb{R},\,x\in\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}\left( 0,\frac{1}{n}\right)$. Puesto que hay una intersección, esto significa que el $\forall n\in\mathbb{N},\,x\in\left( 0,\frac{1}{n}\right)$, $x>0$ y $\forall n\in\mathbb{N},n<\frac{1}{x}$. Supongo que has encontrado la contradicción :D