Para ampliar un poco el comentario de @MichaelHardy, de:
$$A\;B^{-1} + B\;A^{-1} = -I$$
considera también que:
$$(A\;B^{-1})^{-1} = B\;A^{-1}$$
Así que cuando hablamos de todas las soluciones posibles, éstas se pueden generar encontrando $M$ tal que:
$$M + M^{-1} = -I$$
es decir, una matriz invertible $M$ tal que:
$$M^2 + M + I = 0$$
Entonces, si $M$ tiene la(s) raíz(es) característica(s) correspondiente(s), cualquier matriz invertible $B$ puede emparejarse con una matriz invertible $A$ satisfaciendo la relación deseada a través de:
$$A = MB$$
para que $M = A\;B^{-1}$ y $M^{-1} = B\;A^{-1}$ .
Añadido: Algunas palabras más sobre $M$ y sus raíces características son útiles.
Debido a que satisface el polinomio anterior sin raíces repetidas, la matriz compleja $M$ debe ser diagonalizable (similar a una matriz diagonal) con valores propios en $\{ (-1 \pm i\sqrt{3})/2 \}$ las raíces cúbicas no triviales de la unidad. Así que para construir todas esas $M$ , elija cuántas de cada raíz para que combinadas tengamos $n$ la dimensión de $M$ y agruparlos a lo largo de la diagonal de $D$ anteponiendo las que tienen parte imaginaria positiva a las que tienen parte imaginaria negativa (en aras de la definición). Entonces tomemos para una matriz compleja invertible arbitraria $P$ la transformación de similitud:
$$M = P\; D \; P^{-1}$$
Si quisiéramos restringir $M$ a las matrices reales, entonces sus valores propios deben ocurrir en pares conjugados. Por tanto, la dimensión $n$ debe ser par y la "forma canónica real de Jordan" debe tener bloques diagonales $ \bigl(\begin{smallmatrix} \frac{-1}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{-\sqrt{3}}{2}&\frac{-1}{2} \end{smallmatrix} \bigr)$ . Sustituir $D$ con dicha matriz diagonal en bloque y $P$ con una matriz real invertible arbitraria en nuestra receta de similitud anterior, y se obtiene la construcción de todas las soluciones reales $M$ .
