Demostrar que $5/2 < e < 3$ ?

Question

Demostrar que $$\dfrac{5}{2} < e < 3$$

Según la definición de $\log$ y $\exp$ , $$1 = \log(e) = \int_1^e \dfrac{1}{t} dt$$ donde $e = \exp(1)$ .

Así que dado que $e$ es desconocido, ¿cómo podría probar este problema? Creo que me faltan algunos datos importantes que podrían ayudarme de alguna manera a reescribir $e$ en alguna forma de $3$ y $5/2$ . Cualquier idea sería muy apreciada.

Answer 1

$e=\lim_{n\to \infty}(1+\frac1n)^n$

el r-ésimo término $t_r=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)}{r!n^r}=\frac1{r!}\prod_{0\le s<r}(1-\frac sn)$ cuando $1\le r<\infty$

Así que, $\lim_{n\to \infty}t_r=\frac1{r!}$

Así que, $e=1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots$

Pero $1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots>1+1+0.5=2.5$

Otra vez,

$3!=1.2.3>1.2.2=2^2$

$4!=1.2.3.4>1.2.2.2=2^3$

Así que,

$e=1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots$ $<1+1+\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\cdots$ $=1+(1+\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\cdots)=1+\frac{1}{1-\frac12}=3$ ya que los términos dentro del paréntesis forman una serie geométrica infinita con la relación común $=\frac12,$ siendo el primer término $1$

Answer 2

Como sabemos $e=\lim_{n\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ . Esa secuencia es creciente (¿por qué?) y así $$\frac{5}{2}<\left(1+\dfrac{1}{10}\right)^{10}<e$$ Además, para $n=1,2...$ por el Teorema del Binomio, \begin{gather}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(\dfrac{1}{n}\right)^k=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n!}{(n-k)!}\frac{1}{n^k}= 1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}= \notag\\ 1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}...\frac{n-k+1}{n}= 1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)...\left(1-\frac{k-1}{n}\right)<1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\end{gather} (puedes saltarte lo anterior si sabes $e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$ )

Desde $k\ge 4\Rightarrow k!\ge 2^{k}$ , \begin{equation}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\sum_{k=4}^{n}\frac{1}{2^{k}}\end{equation}

Para la última suma, observe que \begin{equation}\sum_{k=4}^{n}\frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{16}\frac{\frac{1}{2^{n-4}}-1}{\frac12-1}=\frac{1}{8}-\frac{1}{2^{n-1}}<\frac{1}{8} \end{equation} y así, \begin{equation}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}\Rightarrow e\le 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}<3 \end{equation}

Answer 3

Desde $$\log(x) = \int_1^x\frac{dt}{t}$$ y utilizando un límite inferior y superior constante para $1/t$ en el intervalo $[1, x]$ se deduce que $$1 - \frac{1}{x} \leq \log(x) \leq x - 1$$ para todos $x > 0$ . Tomando las funciones inversas esto se convierte en $$1 +x \leq e^x \leq \frac{1}{1-x}$$ para todos $x < 1$ (el límite inferior se mantiene para todos los $x \in \mathbb{R}$ (es posible que quieras hacer un dibujo). Tome $n \geq 1$ , sustituto $x \leftarrow x/n$ y elevar al poder $n$ para conseguir $$\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \leq e^{\frac{x}{n}n} = e^x \leq \left(1 - \frac{x}{n}\right)^{-n}$$ para todos $x < n$ . Para $x=1$ y $n=6$ esto se convierte en

$$\frac{5}{2} < \left(1 + \frac{1}{6}\right)^6 \leq e \leq \left(1-\frac{1}{6}\right)^{-6} < 3.$$

Answer 4

Utilice una suma de Riemann para garantizar que $$ \int_1^{\frac{5}{2}} \frac{dt}{t} < 1. $$ (utilizar una suma a la izquierda para garantizar que la suma de Riemann sobreestima la integral). Del mismo modo, con una suma a la derecha para la otra desigualdad.

Answer 5

Método 1:

Utilizando la serie de potencias para $\log(1+x)$ obtenemos $$ \begin{align} \log\left(1+\frac1n\right) &=-\log\left(1-\frac1{n+1}\right)\\ &=\frac1{n+1}+\frac1{2(n+1)^2}+\frac1{3(n+1)^3}+\dots\tag{1} \end{align} $$ Multiplicar $(1)$ por $n+1$ : $$ (n+1)\log\left(1+\frac1n\right)=1+\frac1{2(n+1)}+\frac1{3(n+1)^2}+\dots\tag{2} $$ $(2)$ es obviamente decreciente en $n$ Por lo tanto $\displaystyle\left(1+\frac1n\right)^{\large n+1}$ está disminuyendo en $n$ .

Multiplicar $(1)$ por $n$ : $$ \begin{align} n\log\left(1+\frac1n\right) &=((n+1)-1)\log\left(1+\frac1n\right)\\ &=1-\frac1{1\cdot2(n+1)}-\frac1{2\cdot3(n+1)^2}-\dots\tag{3} \end{align} $$ $(3)$ es obviamente creciente en $n$ Por lo tanto $\displaystyle\left(1+\frac1n\right)^{\large n}$ está aumentando en $n$ .

Por lo tanto, ya que $\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{\large n}$ tenemos $$ \left(1+\frac1n\right)^{\large n}< e<\left(1+\frac1n\right)^{\large n+1}\tag{4} $$

Dejemos que $n=6$ entonces $$ \frac52<\left(\frac76\right)^{\large 6}< e<\left(\frac76\right)^{\large 7}<3\tag{5} $$ Método 2:

Desde $\displaystyle e=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\ $ tenemos $$ \begin{align} \frac52=1+1+\frac12< e &=1+\frac11+\frac1{1\cdot2}+\frac1{1\cdot2\cdot3}+\frac1{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\dots\\ &<1+\frac11+\frac1{1\cdot2}+\frac1{1\cdot2\cdot2}+\frac1{1\cdot2\cdot2\cdot2}+\dots\\ &=3\tag{6} \end{align} $$