Si $X$ deformación se retrae a $A$ ¿se deduce que $(X,A)$ tiene la propiedad de extensión homotópica?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico arbitrario y $A$ un subespacio tal que existe una retracción de deformación (fuerte) de $X$ a $A$ .

¿Se deduce que $(X,A)$ tiene la propiedad de extensión homotópica? Si no es así, ¿cuáles son algunos buenos contraejemplos?

Sospecho que este hecho puede ser útil para resolver varios ejercicios de topología algebraica. No se me ocurre un argumento fácil en ningún sentido, así que cualquier idea será bienvenida.

Answer 1

Esto es casi cierto. Lo que hay que asumir adicionalmente es que $A$ es un conjunto cero, es decir $A=\varphi^{-1}[\{0\}]$ para alguna continua $\varphi\colon X\to [0,1]$ . Desde su $A$ es presumiblemente cerrado, esto siempre será cierto en espacios razonables (se necesita un axioma de separación fuerte que es cierto, por ejemplo, en espacios métricos o complejos CW localmente finitos).

Existe la siguiente caracterización: si $A\subseteq X$ está cerrado, entonces $(X,A)$ tiene la propiedad de extensión homotópica si $A$ es un conjunto cero y alguna vecindad de $A$ se retrae fuertemente la deformación sobre ella. Este es el teorema 1 de este . También se trata en la edición de mayo Un curso conciso