El usuario twistor59 ha abordado la parte relativa a la terminología del "generador", pero permítanme detallar un poco más la segunda parte de la pregunta. Voy a restringir la discusión a los grupos matriciales de Lie para simplificar.
Algunos antecedentes.
Dado un grupo de Lie $G$ con el álgebra de Lie $\mathfrak g$ existen dos mapeos $\mathrm{Ad}$ y $\mathrm{ad}$ , ambos se denominan "adjoint". En particular, para todo $g\in G$ y para todos $X,Y\in\mathfrak g$ definimos $\mathrm {Ad}_g:\mathfrak g\to \mathfrak g$ y $\mathrm{ad}_X$ por $$ \mathrm{Ad}_g(X) = gX g^{-1}, \qquad \mathrm{ad}_X(Y) = [X,Y] $$ La cartografía $\mathrm{Ad}$ que toma un elemento $g\in G$ y lo asigna a $\mathrm{Ad}_g$ es una representación de $G$ actuando en $\mathfrak g$ mientras que el mapeo $\mathrm{ad}$ que toma un elemento $X\in \mathfrak g$ y lo asigna a $\mathrm{ad}_X$ es una representación de $\mathfrak g$ actuando sobre sí mismo.
En otras palabras, $\mathrm{Ad}$ es una representación de un grupo de Lie mientras que $\mathrm{ad}$ es una representación del álgebra de Lie, pero ambas actúan sobre el álgebra de Lie que es un espacio vectorial.
Aparte.
En respuesta al comentario del usuario Christoph más abajo. Obsérvese que si definimos la operación de conjugación $\mathrm{conj}$ por $$ \mathrm{conj}_g(h) = g h g^{-1} $$ Entonces, para los grupos matriciales de Lie (a los que inicialmente dije que restringía la discusión por simplicidad) tenemos $$ \frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\mathrm{conj}_g(e^{tX}) =\mathrm{Ad}_g X $$
Abordar la cuestión.
Dicho todo esto, en mi experiencia (en la teoría de las altas energías), los físicos suelen referirse a $\mathrm{ad}$ la representación del álgebra de Lie. De hecho, a menudo verás escrito en los textos de física que
generadores $T_a$ del álgebra de Lie proporcionan la representación adjunta siempre que $(T_a)_b^{\phantom bc} = f_{ab}^{\phantom{ab}c}$ .
donde el $f$ son las constantes de estructura del álgebra de Lie con respecto a la base $T_a$ ; $$ [T_a,T_b] = f_{ab}^{\phantom{ab}c} T_c $$ Pero fíjese que $$ \mathrm{ad}_{T_a}(T_b) = [T_a,T_b] = f_{ab}^{\phantom{ab}c} T_c $$ que muestra que las representaciones matriciales de los generadores en la representación del álgebra de Lie $\mathrm{ad}$ tienen precisamente entradas dadas por las constantes de estructura.
Adenda (22 de mayo de 2013).
Sea un campo valorado por un álgebra de Lie $\phi$ en un colector $M$ se le dé. Si el campo se transforma bajo la representación $\mathrm{Ad}$ (que es una representación del grupo actuando sobre el álgebra) entonces tenemos $$ \phi(x)\to \mathrm{Ad}_g(\phi(x)) = g\phi(x) g^{-1} $$ Pero recuerde que ( ver aquí ) $\mathrm{Ad}$ está relacionado con $\mathrm{ad}$ (una representación en el álgebra actuando sobre sí mismo) de la siguiente manera: Escribe un elemento del grupo de Lie como $g=e^X$ para algunos $X$ en el álgebra (aquí suponemos que $G$ está conectado) entonces $$ \mathrm{Ad}_g(\phi(x)) = e^{\mathrm{ad}_X}\phi(x) = \phi(x) + \mathrm{ad}_X(\phi(x)) +\mathcal O(X^2) $$ por lo que la correspondiente ley de transformación "infinitesimal" es $$ \delta\phi(x) = \mathrm{ad}_X(\phi(x)) $$ Así que cuando se habla de un campo que se transforma bajo la representación adjoint, $\mathrm{Ad}$ y $\mathrm{ad}$ en cierto sentido tienen el mismo contenido; $\mathrm{ad}$ es la versión "infinitesimal" de $\mathrm {Ad}$
