¿Bajo qué condiciones en $\Omega$ existen $\mathcal{F} \subset \mathcal{P}(\Omega)$ tal que $\mathcal{F}$ es un ultrafiltro no triviales y, para cada secuencia $(F_{i})_{i \in N}$ de elementos de $\mathcal{F}$, $\bigcap_{i \in N}{F_{i}} \in \mathcal{F}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto es realmente un muy fuerte de la propiedad. Se trata de una antigua resultado que si $\kappa$ es el menor cardinal tal que existe un countably completa nonprincipal ultrafilter en $\kappa$ (es decir, la ultrafilter es cerrado bajo contables intersecciones), luego de que ultrafilter en realidad es $\kappa$-completa (cerrado bajo $\lambda$ intersecciones para todos los $\lambda < \kappa$), y por lo tanto $\kappa$ es un cardinal medible.
Por lo tanto la cardinalidad de a $\Omega$ debe ser de al menos el más pequeño medibles cardenal.
Además: El punto principal de esto es que medible cardenales no pueden existir. Por ejemplo, es un resultado de Dana Scott que medible cardenales seguramente no existen en Gödel es Edificable Universo. En un nivel más básico, como medibles cardenales están fuertemente inaccesible si $\kappa$ es el menos medibles cardenal, a continuación, $V_\kappa$ es un modelo de ZFC y $V_\kappa \models \not\exists\text{ measurable cardinal}$.
