Estaba leyendo el lema 4.1 en "J. M. Lee - Introducción a la suave colectores", que dice que, dado un suave nn-colector MM, entonces la tangente bundle TMTM es un buen 2n2n-colector.
Si π:TM→Mπ:TM→M es la natural proyección, dado un atlas A={(Ui,ϕi)}A={(Ui,ϕi)}MM, podemos definir una colección de conjuntos de {π−1(Ui)}{π−1(Ui)} y una colección de funciones de ˜ϕi:π−1(Ui)→R2n que tanto satisface el lema de 1.23 a saber, la construcion lema suave de los colectores.
Más precisamente, en TM se define la topología teniendo como base el conjunto de
B={~ϕi−1(V)for all i:V is open in R2n}
Tengo algunos problemas para demostrar que TM es Hausdorff: claramente no es suficiente para demostrar que dados dos distintas punto de P=(p,X),Q=(q,Y)∈TM, entonces existen algunos π−1(Ui) contiene tanto P Q o existen distintos conjuntos de π−1(Ui)π−1(Uj)P∈π−1(Ui)Q∈π−1(Uj). Si P Q se encuentran en la misma fibra de π es del todo claro, pero si se encuentran en diferentes fibras de π(P)=p≠q=π(Q) y J. M. Lee, dice
existen distintos suave coordinar dominios U,V M tal que p∈U q∈V
¿Por qué es esto cierto? M es Hausdorff, pero abrir conjuntos de M no son de la suave coordinar dominios (el último, de forma un subconjunto de la anterior)!