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¿Por qué el paquete de la tangente es Hausdorff?

Estaba leyendo el lema 4.1 en "J. M. Lee - Introducción a la suave colectores", que dice que, dado un suave nn-colector MM, entonces la tangente bundle TMTM es un buen 2n2n-colector.

Si π:TMMπ:TMM es la natural proyección, dado un atlas A={(Ui,ϕi)}A={(Ui,ϕi)}MM, podemos definir una colección de conjuntos de {π1(Ui)}{π1(Ui)} y una colección de funciones de ˜ϕi:π1(Ui)R2n que tanto satisface el lema de 1.23 a saber, la construcion lema suave de los colectores.

Más precisamente, en TM se define la topología teniendo como base el conjunto de
B={~ϕi1(V)for all i:V is open in R2n}

Tengo algunos problemas para demostrar que TM es Hausdorff: claramente no es suficiente para demostrar que dados dos distintas punto de P=(p,X),Q=(q,Y)TM, entonces existen algunos π1(Ui) contiene tanto P Q o existen distintos conjuntos de π1(Ui)π1(Uj)Pπ1(Ui)Qπ1(Uj). Si P Q se encuentran en la misma fibra de π es del todo claro, pero si se encuentran en diferentes fibras de π(P)=pq=π(Q) y J. M. Lee, dice

existen distintos suave coordinar dominios U,V M tal que pU qV

¿Por qué es esto cierto? M es Hausdorff, pero abrir conjuntos de M no son de la suave coordinar dominios (el último, de forma un subconjunto de la anterior)!

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Khushi Puntos 1266

En primer lugar, voy a corregir algo de la terminología (tomado de Lee del libro).

Deje M ser un liso n-dimensiones múltiples. Un gráfico de coordenadas en M es un par (U,φ) donde U es un subconjunto abierto de M φ:U˜U es un homeomorphism de U a un subconjunto ˜U=φ(U)Rn. El conjunto U se llama coordenadas de dominio.

Ahora a la situación en la mano. Como M es Hausdorff, y pq, existen abiertos disjuntos conjuntos de U,VMpUqV. Como nota, no hay ninguna garantía de que U V será coordinar dominios. Mientras que es cierto, que podemos llevarlos a coordinar dominios sin pérdida de generalidad. Vamos (X,φ), (Y,ψ) ser gráficos (es decir, X,Y son coordinar los dominios) con pX qY (nota, que no requieren X Y a ser distinto).

Reclamo: Los conjuntos U=UX, V=VY son coordinar los dominios con pUqV.

Como U V están abiertos, y la restricción de un homeomorphism a un subconjunto abierto es un homeomorphism, (U,φ|U) (V,ψ|V) son gráficos; es decir, U V son coordinar los dominios. Como pU y pX, pU; asimismo, como qV y qY, qV.

Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos tomar U V a coordinar dominios (si no, pase a subconjuntos UU, VV que son, y llamar a estos conjuntos de U V respectivamente).

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