¿Por qué el paquete de la tangente es Hausdorff?

Question

Estaba leyendo el lema 4.1 en "J. M. Lee - Introducción a la suave colectores", que dice que, dado un suave $n$-colector $M$, entonces la tangente bundle $TM$ es un buen $2n$-colector.

Si $\pi: TM\rightarrow M$ es la natural proyección, dado un atlas $\mathcal A=\{(U_i,\phi_i)\}$$M$, podemos definir una colección de conjuntos de $\{\pi^{-1}(U_i)\}$ y una colección de funciones de $\widetilde\phi_i:\pi^{-1}(U_i)\rightarrow \mathbb R^{2n}$ que tanto satisface el lema de 1.23 a saber, la construcion lema suave de los colectores.

Más precisamente, en $TM$ se define la topología teniendo como base el conjunto de
$$B=\{\widetilde{\phi_i}^{-1}(V)\; \textrm{for all $i$}:\,\textrm{$V$ is open in $\mathbb R^{2n}$}\}$$

Tengo algunos problemas para demostrar que $TM$ es Hausdorff: claramente no es suficiente para demostrar que dados dos distintas punto de $P=(p,X),Q=(q,Y)\in TM$, entonces existen algunos $\pi^{-1}(U_i)$ contiene tanto $P$ $Q$ o existen distintos conjuntos de $\pi^{-1}(U_i)$$\pi^{-1}(U_j)$$P\in \pi^{-1}(U_i)$$Q\in \pi^{-1}(U_j)$. Si $P$ $Q$ se encuentran en la misma fibra de $\pi$ es del todo claro, pero si se encuentran en diferentes fibras de $\pi (P)=p\neq q=\pi(Q)$ y J. M. Lee, dice

existen distintos suave coordinar dominios $U,V$ $M$ tal que $p\in U$ $q\in V$

¿Por qué es esto cierto? $M$ es Hausdorff, pero abrir conjuntos de $M$ no son de la suave coordinar dominios (el último, de forma un subconjunto de la anterior)!

Answer 1

En primer lugar, voy a corregir algo de la terminología (tomado de Lee del libro).

Deje $M$ ser un liso $n$-dimensiones múltiples. Un gráfico de coordenadas en $M$ es un par $(U, \varphi)$ donde $U$ es un subconjunto abierto de $M$ $\varphi : U \to \tilde{U}$ es un homeomorphism de $U$ a un subconjunto $\tilde{U} = \varphi(U) \subset \mathbb{R}^n$. El conjunto $U$ se llama coordenadas de dominio.

Ahora a la situación en la mano. Como $M$ es Hausdorff, y $p \neq q$, existen abiertos disjuntos conjuntos de $U, V \subset M$$p \in U$$q \in V$. Como nota, no hay ninguna garantía de que $U$ $V$ será coordinar dominios. Mientras que es cierto, que podemos llevarlos a coordinar dominios sin pérdida de generalidad. Vamos $(X, \varphi)$, $(Y, \psi)$ ser gráficos (es decir, $X, Y$ son coordinar los dominios) con $p \in X$ $q \in Y$ (nota, que no requieren $X$ $Y$ a ser distinto).

Reclamo: Los conjuntos $U' = U\cap X$, $V' = V\cap Y$ son coordinar los dominios con $p \in U'$$q \in V'$.

Como $U'$ $V'$ están abiertos, y la restricción de un homeomorphism a un subconjunto abierto es un homeomorphism, $(U', \varphi|_{U'})$ $(V', \psi|_{V'})$ son gráficos; es decir, $U'$ $V'$ son coordinar los dominios. Como $p \in U$ y $p\in X$, $p \in U'$; asimismo, como $q \in V$ y $q \in Y$, $q \in V'$.

Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos tomar $U$ $V$ a coordinar dominios (si no, pase a subconjuntos $U' \subseteq U$, $V' \subseteq V$ que son, y llamar a estos conjuntos de $U$ $V$ respectivamente).