Universal envolvente álgebra de $\mathfrak{gl}(n,\Bbb R)$

Question

Estoy aprendiendo acerca de universal que envuelve álgebras, y me preguntaba sobre la siguiente.

Pregunta: Es el universal que envuelve álgebras de $\mathfrak{gl}(n,\Bbb R)$ $\mathfrak{gl}(n,\Bbb R)$ sí?

Es un álgebra asociativa con la multiplicación de la matriz. Pero no estoy seguro de que cumple con la característica universal.

Dado un $\Bbb R$-álgebra $A$ y una Mentira álgebra homomorphism $$\varphi:\mathfrak{gl}(n,\Bbb R)\to A$$ debemos demostrar que también es un $\Bbb R$-álgebra homomorphism. Que es $$\varphi([X,Y])=\varphi(X)\varphi(Y)-\varphi(Y)\varphi(X),\quad\forall X,Y\quad\implies\quad \varphi(XY)=\varphi(X)\varphi(Y),\quad\forall X,Y.$$ No estoy seguro de que esto es cierto.

Answer 1

No es cierto. Por ejemplo, considere el rastro operador $$\mathrm{tr}:\mathfrak{gl}(n,\Bbb R)\to \Bbb R.$ $ entonces,$$ \mathrm{tr}([X,Y])=\mathrm{tr}(XY)-\mathrm{tr}(YX)=0=\mathrm{tr}(X)\mathrm{tr}(Y)-\mathrm{tr}(Y)\mathrm{tr}(X). sin embargo, es en general no cierto ese % $\mathrm{tr}(XY)=\mathrm{tr}(X)\mathrm{tr}(Y).$