Deje $\mathcal{J}^n$ por la colección de todos los "rectángulos" en $\mathbb{R}^n$, que es:
$[[a,b))\in\mathcal{J}^n\iff [[a,b))=[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times\cdots\times[a_n,b_n)$ donde $a,b\in\mathbb{R}^n$ $a_i\le b_i\ \forall i$
Voy a llamar a $[[a,b))$ "rectángulos".
$R(\mathcal{J}^n)$ denota el anillo generado por la colección de n dimensiones de los rectángulos.
Un anillo es http://www.maths.kisogo.com/index.php?title=Ring_of_sets - en pocas palabras, una clase de conjuntos cerrados en virtud del conjunto de la resta y de la unión.
Anillo generado por se puede encontrar en http://www.maths.kisogo.com/index.php?title=Ring_generated_by junto con la prueba de que determinado $S\in R(\mathcal{J}^n)$ que hay un número finito de cubrir con los juegos en $\mathcal{J}^n$, que es:
$$S=\bigcup^n_{i=1}[[a_i,b_i))$$
Pregunta:
Necesito demostrar que, dado un número finito de cubierta, hay un número finito DISTINTO de cubrir. esto es obvio, pero es difícil de probar.
Usted puede ignorar lo que está debajo de esta línea, que es sólo mi prueba de trabajo
Ejemplo
Tomar el rectángulo $[[0,5))\subset\mathbb{R}^2$ que es el "cuadrado" $\{(x,y)|0\le x< 5,\ 0\le y< 5\}$
Es fácil ver $[[0,5))-[[1,6))=[[0,1))\cup [0,1)\times[1,5)\cup [1,5)\times [0,1)$ por ejemplo.
Sin embargo, $[[0,5))-[[1,2))$ tiene aún más de los casos (8 de hecho), un cubo de menos algo dentro de ella tiene 26 trozos.
Lo que creo que debo hacer
Creo que debo hacer algo por inducción, y considerar la posibilidad de $\mathcal{J}^n=\mathcal{J}^n\times\mathcal{J}^1$.
Lo que he hecho
Me han demostrado que esto es cierto para $\mathcal{J}^1$ (y podría hacerlo para cualquier específicos n).
Cómo?
Dado un cubrimiento $\cup^m_{i=1}B_i$ donde $B_i\in\mathcal{J}^1$ podemos generar un discontinuo cubrir la siguiente manera:
Definir $A_1=B_1$ $A_n=B_n-\cup^{n-1}_{i=1}A_i$ (aviso $\cup^n_{i=1}A_i=\cup^n_{i=1}B_i$)
Procedamos por inducción:
$A_1$ puede ser expresada directamente como un intervalo en $\mathcal{J}^1$
Suponga $A_n$ se puede expresar como la unión de los distintos miembros de $\mathcal{J}^1$, luego
$A_{n+1}=S_{n+1}-\bigcup^n_{i=1}A_i=S_{n+1}\cap[\cup_{i=1}^nA_i]^c$
Luego WLOG usted puede ordenar la (discontinuo) los intervalos actuales en $\cup_{i=1}^nA_i$, entonces el complemento toma la forma $(-\infty,a_1)\cup[b_1,a_2)\cup\cdots\cup[b_{n-1},a_n)\cup[b_n,\infty)$ y $S_{n+1}=[x,y)$
No se incluyen todos los intervalos cuyos extremos están por debajo de $x$ cortar el uno cuyo límite inferior es $\le x$, a mantener entre ellos, mientras que el límite superior es $< y$ a continuación, cortar la una que contiene a $y$, entonces usted ignorar el resto.
Un subconjunto de un conjunto finito es finito, así que tenemos (por inducción) hemos demostrado que podemos cubrir un número finito de cubrimiento por una colección finita de distintos miembros de $\mathcal{J}^1$
