Demostrando que cada sistema en el anillo generado por todos los rectángulos puede ser cubierto por una Unión separada finita de rectángulos

Question

Deje $\mathcal{J}^n$ por la colección de todos los "rectángulos" en $\mathbb{R}^n$, que es:
$[[a,b))\in\mathcal{J}^n\iff [[a,b))=[a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times\cdots\times[a_n,b_n)$ donde $a,b\in\mathbb{R}^n$ $a_i\le b_i\ \forall i$

Voy a llamar a $[[a,b))$ "rectángulos".

$R(\mathcal{J}^n)$ denota el anillo generado por la colección de n dimensiones de los rectángulos.

Un anillo es http://www.maths.kisogo.com/index.php?title=Ring_of_sets - en pocas palabras, una clase de conjuntos cerrados en virtud del conjunto de la resta y de la unión.

Anillo generado por se puede encontrar en http://www.maths.kisogo.com/index.php?title=Ring_generated_by junto con la prueba de que determinado $S\in R(\mathcal{J}^n)$ que hay un número finito de cubrir con los juegos en $\mathcal{J}^n$, que es:

$$S=\bigcup^n_{i=1}[[a_i,b_i))$$

Pregunta:

Necesito demostrar que, dado un número finito de cubierta, hay un número finito DISTINTO de cubrir. esto es obvio, pero es difícil de probar.

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Usted puede ignorar lo que está debajo de esta línea, que es sólo mi prueba de trabajo

Ejemplo

Tomar el rectángulo $[[0,5))\subset\mathbb{R}^2$ que es el "cuadrado" $\{(x,y)|0\le x< 5,\ 0\le y< 5\}$

Es fácil ver $[[0,5))-[[1,6))=[[0,1))\cup [0,1)\times[1,5)\cup [1,5)\times [0,1)$ por ejemplo.

Sin embargo, $[[0,5))-[[1,2))$ tiene aún más de los casos (8 de hecho), un cubo de menos algo dentro de ella tiene 26 trozos.

Lo que creo que debo hacer

Creo que debo hacer algo por inducción, y considerar la posibilidad de $\mathcal{J}^n=\mathcal{J}^n\times\mathcal{J}^1$.

Lo que he hecho

Me han demostrado que esto es cierto para $\mathcal{J}^1$ (y podría hacerlo para cualquier específicos n).

Cómo?

Dado un cubrimiento $\cup^m_{i=1}B_i$ donde $B_i\in\mathcal{J}^1$ podemos generar un discontinuo cubrir la siguiente manera:
Definir $A_1=B_1$ $A_n=B_n-\cup^{n-1}_{i=1}A_i$ (aviso $\cup^n_{i=1}A_i=\cup^n_{i=1}B_i$)

Procedamos por inducción:
$A_1$ puede ser expresada directamente como un intervalo en $\mathcal{J}^1$
Suponga $A_n$ se puede expresar como la unión de los distintos miembros de $\mathcal{J}^1$, luego
$A_{n+1}=S_{n+1}-\bigcup^n_{i=1}A_i=S_{n+1}\cap[\cup_{i=1}^nA_i]^c$

Luego WLOG usted puede ordenar la (discontinuo) los intervalos actuales en $\cup_{i=1}^nA_i$, entonces el complemento toma la forma $(-\infty,a_1)\cup[b_1,a_2)\cup\cdots\cup[b_{n-1},a_n)\cup[b_n,\infty)$ y $S_{n+1}=[x,y)$

No se incluyen todos los intervalos cuyos extremos están por debajo de $x$ cortar el uno cuyo límite inferior es $\le x$, a mantener entre ellos, mientras que el límite superior es $< y$ a continuación, cortar la una que contiene a $y$, entonces usted ignorar el resto.

Un subconjunto de un conjunto finito es finito, así que tenemos (por inducción) hemos demostrado que podemos cubrir un número finito de cubrimiento por una colección finita de distintos miembros de $\mathcal{J}^1$

Answer 1

Sugerencia

Que $m$ ser cualquier número natural positivo y que $A_1$, $C_1$,..., $A_m$, $C_m$ conjuntos arbitrarios. Utilizar el orden bien para probar

$(A_1 \times A_2 \times A_3 \times A_4 \times ... \times A_{m-1} \times A_m) \setminus (C_1 \times C_2 \times C_3 \times C_4 \times ... \times C_{m-1} \times C_m) =$

$= [(A_1 \setminus C_1) \times A_2 \times A_3 \times A_4 \times ... \times A_{m-1} \times A_m] \dot{\cup}$

$\dot{\cup} [(A_1 \cap C_1) \times (A_2 \setminus C_2) \times A_3 \times A_4 \times ... \times A_{m-1} \times A_m] \dot{\cup}$

$\dot{\cup} [(A_1 \cap C_1) \times (A_2 \cap C_2) \times (A_3 \setminus C_3) \times A_4 \times ... \times A_{m-1} \times A_m] \dot{\cup} ...$

$... \dot{\cup} [(A_1 \cap C_1) \times (A_2 \cap C_2) \times (A_3 \cap C_3) \times ... \times (A_{m-1} \cap C_{m-1}) \times (A_m \setminus C_m)]$

(Unión de separados)

Por lo que tiene este aplicada a intervalos da alguna manera natural para escribirlas uniones disjuntos de rectángulos. Proceder por inducción.