Me gustaría saber que $\mathfrak{S}_n$ podría actuar fielmente transitoriamente en conjuntos con elementos de $m$, $m > n$. Sé que no es posible si $m = n+1$ excepto $n = 5$. ¿Alguna idea?
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Geoff Robinson
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Esta pregunta es equivalente a preguntar qué las clases conjugacy de los subgrupos de $S_{n}$, puesto que cada transitiva permutación representación de cualquier grupo finito es permutación equivalente a la acción en el cosets de uno de sus subgrupos, y conjugar los subgrupos de un equivalente de permutación de las representaciones. Ya que cada grupo finito incrusta en algún grupo simétrico, esto pronto se convertiría en una enorme tarea, sin más información.
Para mayor $n,$ creo que el siguiente menor grado, de una fiel permutación representación de $S_{n}$ ( después de la $n$) $\frac{n(n-1)}{2},$ que proviene de la acción de pares no ordenados de $\{1,2, \ldots n \}.$ Hay pequeñas excepciones a esto, sin embargo.
Jonik
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Aquí es una manera de entender a los fieles, transitiva acciones de $S_n$. Nos concentramos en pequeño $|X|$. Claramente $\binom{n}{1} \leq X$, y se describe el $X$ que están "cerca" a $\binom{n}{k}$.
Para $n$ suficientemente grande en comparación a $k$, la respuesta es muy simple: $S_n$ es (básicamente) que actúan sobre los subconjuntos de tamaño $k$$\{1,2,\ldots,n\}$. Para las pequeñas $k$ podemos enumerar las excepciones.
De la demanda (un gran $n$): Para cada una de las $k$ hay algo de $N$ tal que para $n>N$ el único fiel transitiva acciones de $S_n$ $X$ $\binom{n}{k} \leq |X| < \binom{n}{k+1}$ tiene un estabilizador $H$ satisfactorio $$\underbrace{S_1 \times \cdots \times S_1}_{k\text{ factors}} \times A_{n-k} \leq H \leq S_k \times S_{n-k},$$ where the left hand and right hand groups are the natural subgroups of $S_n$ acting on the sets $\{1\},\{2\}, \ldots, \{k\}, \{k+1, \ldots, n\}$ and $\{1,2,\ldots,k\}, \{k+1,\ldots,n\}$. This means that $$\binom{n}{k} \leq |X| \leq 2k! \binom{n}{k}=2n(n-1)\cdots(n-k+1).$$
Dependiendo de qué tipo de relación desea $|X|$ $n$ tener, podemos hacer el reclamo más específicos. Por ejemplo, si desea $|X|$ a crecer linealmente con $n$, luego de lo suficientemente grande como $n$, usted querrá $|X| < \binom{n}{2}$.
De la demanda ($k=1$): Si $S_n$ tiene una fieles, transitiva acción en un conjunto $X$$|X| < \binom{n}{2}$, entonces el estabilizador $H$ de un punto es conjugado a exactamente uno de los siguientes:
- el natural $S_1 \times S_{n-1}$$|X|= \phantom{2}\binom{n}{1}$, o
- el natural $S_1 \times A_{n-1}$ $|X|= 2\binom{n}{1}$
a menos $H$ existe en una forma excepcional:
- $n=5$, $|X|=6$, $H$ es natural afín $\operatorname{AGL}(1,5) = F_{20}$
- $n=6$, $|X|=6$, $H$ es la natural, casi simple $\operatorname{PGL}(2,5)$,
exterior conjugado de a $(H,|X|)=(S_1\times S_5,\binom{n}{1})$- $n=6$, $|X|=10$, $H$ es el natural de la corona de $S_3 \wr S_2$
- $n=6$, $|X|=12$, $H$ es la natural, casi simple $\operatorname{PSL}(2,5)$,
exterior conjugado de a $(H,|X|)=(S_1 \times A_5,2\binom{n}{1})$o $n$ es tan pequeño, que algunas filas deben ser ignorados:
- $n\leq 3$, en cuyo caso no hay tal $X$ existe, ya que las $\binom{n}{2} \leq \binom{n}{1}$
- $n=4$, en cuyo caso la segunda fila es demasiado grande, ya que $\binom{n}{2} \leq 2\binom{n}{1}$
Este dice que las acciones de los lineales de tamaño son, básicamente, la acción natural en $n$ puntos. También podemos manejar cuadrática con bastante facilidad. De nuevo por $n$ lo suficientemente grande, usted querrá $|X| < \binom{n}{3}$.
De la demanda ($k=2$): Si $S_n$ tiene una fieles, transitiva acción en un conjunto $X$$|X|< \binom{n}{3}$, entonces el estabilizador $H$ de un punto es conjugado a exactamente uno de los siguientes:
- el natural $S_1 \times S_{n-1}$$|X|= \phantom{2}\binom{n}{1}$,
- el natural $S_1 \times A_{n-1}$$|X|= 2\binom{n}{1}$,
- el natural $S_2 \times S_{n-2}$$|X|= \phantom{2}\binom{n}{2}$,
- el natural $S_2 \times A_{n-2}$$|X|= 2\binom{n}{2}$,
- el natural $A_2 \times S_{n-2}$$|X|= 2\binom{n}{2}$,
- el natural $2(A_2 \times A_{n-2})$$|X|= 2\binom{n}{2}$,
- el natural $A_2 \times A_{n-2}$$|X|= 4\binom{n}{2}$,
a menos $H$ es un nuevo grupo:
- $n=5$, $|X|=6$, $H$ es natural afín $\operatorname{AGL}(1,5) = F_{20}$
- $n=6$, $|X|=6$, $H$ es la natural, casi simple $\operatorname{PGL}(2,5)$,
exterior conjugado de a $(H,|X|)=(S_1\times S_5,\binom{n}{1})$- $n=6$, $|X|=10$, $H$ es el natural de la corona de $S_3 \wr S_2$
- $n=6$, $|X|=12$, $H$ es la natural, casi simple $\operatorname{PSL}(2,5)$,
exterior conjugado de a $(H,|X|)=(S_1 \times A_5,2\binom{n}{1})$- $n=6$, $|X|=15$, $H$ es un exterior conjugado de $(H,|X|) = (S_2 \times S_4,\binom{n}{2})$
- $n=7$, $|X|=30$, $H$ es la natural, casi simple $\operatorname{PSL}(3,2)$
- $n=8$, $|X|=30$, $H$ es natural afín $\operatorname{ASL}(3,2)$
- $n=8$, $|X|=35$, $H$ es el natural de la corona de $S_4 \wr S_2$
o $H$ no existe / debe ser ignorado:
- $n\leq 3$, en cuyo caso no hay tal $X$ existe, ya que las $\binom{n}{3} \leq \binom{n}{1}$
- $n=4,5$, en cuyo caso la cuarta a la séptima fila son demasiado grandes, ya que $\binom{n}{3} \leq \binom{n}{2}$
- $n=6,7,8$, en cuyo caso, el quinto a séptimo de la fila son demasiado grandes, ya que $\binom{n}{3} \leq 2\binom{n}{2}$
- $n=9,10$, en cuyo caso la séptima fila es demasiado grande, ya que $\binom{n}{3} \leq 4\binom{n}{2}$
Esto dice de las acciones de la cuadrática tamaño son, básicamente, las acciones naturales en los pares de puntos. Las excepciones son, ya sea debido a los estabilizadores no existente / tener el índice derecho en la diminuta $n$ (por ejemplo, $A_n$ orden $n!/2$ si $n=0,1$), o honesto a la bondad, a otras familias de la junta'Nan Scott clasificación: actuando en el bloque de sistemas para dar la corona de producto estabilizadores, afín subgrupos actuando en forma natural en $p^n$ puntos, casi simple grupos (ya sea que actúen en su forma "natural", o en otras primitivas formas), etc.
Incluso podríamos seguir cúbicos:
Reclamación $(k=3)$: $|X| < \binom{n}{4}$, la única novedad de las cosas que suceden son $$S_1 \times S_1 \times S_1 \times A_{n-3} \leq H \leq S_3 \times S_{n-3}$$ in general (that is $i\binom{n}{3}$ for $i=1,2,2,2,3,4,6,6,6,12$ hasta conjugacy). El nuevo excepciones son:
- $n=4$, $|X|=6$, una excepcional $H=C_4$
- $n=10$, $|X|=126$, los naturales de la corona de $S_5 \wr S_2$
- $n=12$, $|X|=462$, los naturales de la corona de $S_6 \wr S_2$
Los pedidos con la problemática de las filas que necesite ser ignorado parar en $n=52$.
Este dice que las acciones de tamaño cúbico son, básicamente, la acción natural en tripletas de puntos.
Advertencia: Personalmente, yo sólo estoy interesado en pequeño $n$. Para las pequeñas $n$ hay muy pocas excepciones, por lo que estas afirmaciones parece muy útil. También las pruebas a las que son tediosos, pero fácil. Para general $n$, me siento muy extraño desigualdades que son básicamente ridículo ($n$tal que $n > n!$) pero tienen bastante complicación que no estoy seguro de cómo demostrar a ellos. No me sorprendería si algunos de ellos todavía están abiertos. Algunos de los casos excepcionales fueron sólo se comprueba por el orden y la multiplicidad, por lo que para $n < 52$ podría ser un error por el que en general las filas no existe ($A_1$ vs $S_1$ tipo de cosa), mientras que algunos otros $H$ no existe. Uno podría comprobar esto más detenidamente, pero creo que mi listas de dar una buena sensación.
Aleksandr Levchuk
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Hay una completa clasificación de los conjuntos equipado con un transitiva $G$-acción. A saber:
Si $G$ actúa sobre un conjunto $X$ (a la izquierda) de manera transitiva, entonces existe un subgrupo $H \le G$ $G$- equivariant bijection entre el conjunto de $[G : H]$ (a la izquierda) cosets de $H$ (con la evidente (a la izquierda) $G$-acción) y $X$.
De hecho, esto es sólo una manera diferente de plantear la órbita–estabilizador teorema. Por lo tanto, $G$ puede actuar de manera transitiva en un conjunto de $n$ elementos si y sólo si $G$ tiene un subgrupo de índice $n$.
