¿Por qué es la ' asignación de espacio ' entre dos objetos en una cuasi-categoría un complejo de Kan?

Question

Deje $X$ ser un cuasi-categoría. (es decir, un conjunto simplicial la satisfacción de los débiles Kan extensión de la condición). Dadas dos 'objetos'$a,b\in X_0$$X$, uno define la asignación de espacio de $X(a,b)$ a ser el pullback de $$X^{\Delta^1}\X^{\parcial\Delta^1}\cong X\X veces$$

A lo largo del mapa $pt\to X\times X$ que se lleva el punto a la par $(a,b)$. Es (aparentemente) bien conocido que $X(a,b)$ es siempre un complejo de Kan (siempre $X$ es un cuasi-categoría como hemos supuesto). ¿Cómo demostrarlo? He visto que esta declarado en varios documentos de Joyal, pero sin una prueba y con referencias a algunos imposible de encontrar fuentes. Estoy seguro de que esto también aparece en algún lugar en Lurie HTT , pero me perdí en todas las diferentes asignación de objetos de espacio que utiliza. Un esquema del argumento o de una lectura autónoma de referencia sería muy apreciado.

Answer 1

Como Zhen señaló, $\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}\Hom_X(a,b)$ $\infty$- categoría y que es suficiente para mostrar que cada 1-morfismos de $\Hom_X(a,b)$ es una equivalencia. En particular, es suficiente para mostrar que todos los $(2,0)$-cuerno $\Lambda^2_0 \to \Hom_X(a,b)$ puede ser llenado. Uno puede traducir a la condición de que cualquier morfismos $$\Lambda^2_0 \times \Delta^1 \bigsqcup_{\Lambda^2_0 \times \partial\Delta^1} \Delta^2 \times \partial\Delta^1 \longrightarrow X,$$ que los mapas de $\Lambda^2_0 \times \{0\}$$a$, levanta a una de morfismos $\Delta^2 \times \Delta^1 \to X$. Ya que, en particular, el 1-simplex $d^2(\Delta^2) \times \{0\}$ es asignado a una equivalencia de $X$, la demanda sigue de la Proposición 2.4.1.8 de HTT. Para ver la forma en que la proposición se aplica aquí, ver la prueba del Lema 2.3.3.5, por ejemplo. Puede ser una exageración, sin embargo, la idea es la misma que la prueba de la implicación (1) => (2) en la Proposición 2.1.2.6 (Joyal a la caracterización de la izquierda anodina mapas).

Answer 2

La prueba aparece muy tarde en HTT. El conjunto simplicial $X (a, b)$ (en Lurie notación, $\mathrm{Hom}_X (a, b)$) se menciona por primera vez después de la Observación 1.2.2.5, y el hecho de que se trata de un complejo de Kan aparece implícitamente en el Corolario 4.2.1.8. Un resultado similar aparece como Corolario 4.8 en [Dugger y Spivak, la Asignación de espacios en cuasi-categorías], pero no explícitamente $X (a, b)$ (en su notación, $\mathrm{Hom}_X^\mathrm{cyl} (a, b)$) es un complejo de Kan. (Ellos están más interesados en mostrar que los diferentes modelos de hom-espacios débilmente equivalentes).

Probablemente debería mencionar que es relativamente fácil demostrar que $X (a, b)$ es un quasicategory. De hecho, la clase de interior fibrations se porta bien con respecto a la exponenciación, por lo que la proyección de $[\Delta^1, X] \to [\partial \Delta^1, X]$ es un interior fibration; y la clase de interior fibrations es cerrado bajo retroceso, por lo $X (a, b) \to \Delta^0$ es también un interior fibration, es decir, $X (a, b)$ es un quasicategory. En principio, entonces es suficiente para demostrar que la "homotopy categoría" $\tau_1 (X (a, b))$ es un groupoid, pero no creo que de cualquier forma rápida de hacer esto.

Answer 3

Hay otra más simple argumento sugerido en estas notas de Denis-Charles Cisinski:

Para un $\infty$categoría $X$, vamos a $k(X)$ denotar la máxima sub-$\infty$-groupoid de $X$. Escribir $\newcommand{\uHom}{\underline{\mathrm{Hom}}}k(A, X) = k(\uHom(A, X))$ para cualquier conjunto simplicial $A$. A continuación, el concepto cartesiano de la plaza de la definición de la asignación de espacio de $\Hom_X(a,b)$ factores en dos cartesiano plazas

El punto aquí es el teorema:

Teorema. Deje $p : X \to Y$ ser un fibration de $\infty$-categorías en el Joyal la estructura del modelo. Para todos los monomorphisms $u : A \hookrightarrow B$, los morfismos $$q : k(B, X) \longrightarrow k(A,X) \times_{k(A,Y)} k(B,Y)$$ es un Kan fibration.

Por lo tanto, uno ve que el medio vertical de morfismos es un Kan fibration, y por lo tanto también lo es el vertical izquierdo de morfismos.

Consulte la página 117 en las notas mencionadas anteriormente para la prueba de este teorema.