Cómo demostrar este $p(x)>0$ si $p(x)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a_{i}x^i(1-x)^{n-i}$

Question

Deje que los polinomios $$p(x)=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a_{i}x^i(1-x)^{n-i}$ $

y el tal $$a_{0}+\sum_{a_{i}<0}(1-\dfrac{i}{n})\binom{n}{i}a_{i}>0$ $ y $$a_{n}+\sum_{a_{i}<0}\dfrac{i}{n}\binom{n}{i}a_{i}>0$ $

muestran que

$$p(x)>0,\forall x\in [0,1]$$

Este problema es de una china análisis problema libro impuesto especial, cuando este libro introducir polinomios de Bernstein dan este problema difícil, y posteo

Answer 1

A partir de las condiciones sabemos que $a_0>0$$a_n>0$, por lo que la suma de $\sum\limits_{a_i<0}$ excluye $a_0$$a_n$.

Para $1\le i\le n-1$, por AM-GM, $$ x^i(1-x)^{n-i} = \big(x^n\big)^{\frac en} \big((1-x)^n\big)^{\frac{n-i}n} \le \frac en x^n + \frac{n-i}n (1-x)^n = \frac en x^n + \left(1-\frac en\right) (1-x)^n. $$ Entonces $$ p(x) \ge a_0(1-x)^n + a_nx^n + \sum_{a_i<0} a_i\binom ni x^i(1-x)^{n-i} \\\ge a_0(1-x)^n + a_nx^n + \sum_{a_i<0} a_i\binom ni \left(\frac en x^n + \left(1-\frac en\right) (1-x)^n\right) = (1-x)^n\left(a_0+\sum_{a_i<0} \left(1-\frac en\right)\binom ni a_i\right) + x^n \left(a_n+\sum_{a_i<0} \frac en\binom ni a_i\right) >0. $$

Answer 2

Para empezar, tenemos a partir de las condiciones que $$ p(0) = a_0 > a_0 + (\mathrm{negativo~cosas}) > 0 $$ y $$ p(1) = a_n > a_n + (\mathrm{negativo~cosas}) > 0 $$

Así que en los extremos de $p$, estamos por encima de cero. Lo que esto está diciendo en realidad es que el $p$ no tiene suficiente negativo de los coeficientes de superar los dos extremos al $x = 0,1$.

El resto es esencialmente una convexidad pregunta. No he trabajado fuera de los detalles, pero los dos supuestos de esta cuestión se relacionan con el máximo local de la persona polinomios de Bernstein que componen $p(x)$, y que estos máximos no son suficientes para dominar a los dos polinomios de Bernstein en los extremos, $B_{0,n}$$B_{n,n}$, y por lo general polinomio no puede ser negativo. http://mathworld.wolfram.com/BernsteinPolynomial.html