Cuántas soluciones posibles para la ecuación de $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=55$ si

Question

Cuántas soluciones posibles para la ecuación de $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=55$ si los $x$ es entero no negativo:

• No hay restricciones. La solución es $C(55 + 4, 4) = C(59,4)$ pero no veo por qué, puede alguien explicarme esto?
• Cada $x_k$ es raro.
• Si $x_1>=1,x_2>=2,x_3>=3,x_4>=2,x_5>=1,$

Answer 1

1. Se le olvidó decir que el $0\le x_i$ (de lo contrario hay un número infinito de soluciones). Este es un estándar de "elección con repeticiones y sin orden" caso (de ahí la fórmula, que es una de las fórmulas básicas en la combinatoria). En este caso, usted tiene 55 "bolas" para distribuir libremente dentro de los cinco "agujeros" - las variables.
2. Aquí usted puede escribir $x_i=2y_i+1$ y resolver para $y_i$ en lugar de $x_i$. Obtendrás algo como $2(y_1+\dots+y_5)+5=55$ - simplifica para obtener $y_1+\dots+y_5=25$ (¿cómo?)
3. Aquí se utiliza $x_1=y_1+1$, $x_2=y_2+2$ y luego otra vez a resolver para $y_i$.