Suma y convergencia de series $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\ln \left(1-\frac{1}{n^2}\right)$

Question

¿Cómo puedo calcular la suma de $$\sum _{n=2}^{\infty \:}\ln \left(1-\frac{1}{n^2}\right)$$ y demostrar que es una serie convergente?

He intentado utilizar la comparación eligiendo $a_n = -\frac{1}{n^2}$ y decir que si ésta es una serie convergente, entonces mi serie también lo es, ya que el $\lim _{n\to \infty }\left(\frac{\left(\ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right)}{-\frac{1}{n^2}}\right)$ sería $1$ . Sin embargo, no estoy seguro de que esta sea la forma correcta de hacerlo, ya que estoy trabajando con series de términos positivos.

Answer 1

Una pista: \begin{align} & \log\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \log(n^2 - 1) - \log(n^2) = [\log(n + 1) - \log n] - [\log(n) - \log(n - 1)] \end{align} Ahora considera la suma parcial.

Answer 2

Escribe $\log(1-\frac{1}{n^2})=\log(\frac{n+1}{n})-\log(\frac{n}{n-1})=u_n-u_{n-1}$