Resolver la siguiente ecuación para x y y:

Question

$x^2 = y^2 + xy + 5$, donde $x$ y $y$ son números naturales.

Aquí es lo que tengo hasta ahora:

1. $x \neq y$ (de la ecuación).

2. $x$ es siempre impar (utilizando la ecuación y suponiendo casos $2$ - $y$ son impar o $y$ es incluso).

3. Solución de la ecuación cuadrática en $y$, $5x^2 - 20 \geq 0$ y un cuadrado perfecto.

Siento que me falta un punto crucial que me guía hacia una solución.

¡Sugerencia por favor!

Answer 1

Multiplicar por $4$. $$4x^2=4y^2+4xy+20$$

$$5x^2=(2y+x)^2+20$$

Por lo tanto, intentar resolver %#% $ #%

$$5x^2=z^2+20$ deben ser múltiples de $z$. Así que poner $5$ $z=5a$ $ a

Se trata de una ecuación de Pell con una solución de $$x^2-5a^2=4$. De esto y una mínima solución de $x=3, a=1$ $

decir $$A^2-5B^2=1,$, puede generar todas las soluciones y volver a las variables originales para obtener las soluciones de la ecuación original.

Answer 2

Me gusta Conway método gráfico para estos, la forma cuadrática es $f(x,y) = x^2 - xy- y^2,$ y estamos buscando para el valor de $5.$ Como se puede ver, estos ocurren cuando $y,x$ son consecutivos Lucas números, $x$ es el más grande. Tendré que buscar este, hay algo acerca de la par/impar índices así. Bien, bien mirado, las soluciones con números naturales son $$ x = L_{2n}, \; \; y = L_{2n-1}; \; \; \; \; \; \; n \geq 1 $$

Véase el capítulo 1 en http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/conwaysens.pdf

Vamos a ver, Conway le gusta la letra $h$ para el pequeño de color azul los números de etiquetado de los bordes, la flecha apunta en la dirección de aumentar la forma de valor. A él le gusta $a,b$ para los valores, y dos valores de $a,b$ a cada lado de un borde de $h$ denotar la forma cuadrática $a x^2 + h x y + b y^2$ o $a x^2 - h x y + b y^2$ que es "equivalente" a la original. Nuestro original es$x^2 - xy - y^2$, ya que las puntas de flecha a la izquierda, vemos que $x^2 + xy - y^2,$ $x^2 + 3xy + y^2,$ y $x^2 + 5 xy + 5 y^2$ son equivalentes a la eso. Así es $5 x^2 + 5 xy + x^2.$

Conway no suele dibujar en el $x,y$ coordenadas de un punto, yo lo hice en verde. Conway prefiere escribir los vectores $e_1$ o $e_2.$ Mi camino se hace en otro libro, por Stillwell. Finalmente, tampoco el autor fuerzas el diagrama para mostrar la automorphism grupo, pero, por el MSE, que parece un aspecto importante.

Lo que tradicionalmente se denomina automorphism grupo de las formas cuadráticas nos dice que si tenemos una solución de $x^2 - x y - y^2 = 5,$ entonces tenemos otra de $$ (2x+y, x+y). $$ Esta es la matriz del producto $$ \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2x+y \\ x+y \end{array} \right) $$ La matriz $$ A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) $$ ha determinante $1,$ y traza $3.$, por Lo que, de Cayley-Hamiltion dice $$ A^2 - 3 A + I = 0, $$ o $$ A^2 = 3 A - I . $$ Esto nos dice que, si ponemos las soluciones de $(x_n, y_n),$ hemos $$ x_{n+2} = 3 x_{n+1} - x_n, $$ $$ y_{n+2} = 3 y_{n+1} - y_n $$ como las identidades en las variables independientes. estos conducen rápidamente a la confirmación de que el Lucas de la propiedad.