¿Cuál es la probabilidad de que un cuadrilátero sea convexo?

Question

Dado $4$ puntos distintos elegidos al azar $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ y $x_4$ en el plano tal que la trayectoria poligonal desde $x_1$ a $x_2$ a $x_3$ a $x_4$ a $x_1$ describe un cuadrilátero no autointerseccionado, ¿cuál es la probabilidad de que el cuadrilátero sea convexo?

Esta pregunta está motivada por la observación de que, aunque las puntas de flecha, los dardos y los chevrones no son raros, el cuadrilátero correspondiente rara vez se menciona/encuentra en el estudio de la geometría elemental.

Answer 1

Como tres puntos cualesquiera crearán un polígono convexo (un triángulo), sólo tienes que preocuparte de dónde está el cuarto punto. Así que puedes colocar los tres primeros vértices en cualquier lugar, entonces la condición para que tu trayectoria sea un poygono será simplemente que el cuarto vértice tiene que estar en el semiplano delimitado por la línea de $x_1$ a $x_3$ que no contiene $x_2$ . Así que se podría decir aquí que la probabilidad es del 50% (depende de cómo se defina el espacio de probabilidades, como señala @cardinal).

Ahora, si quieres que sea un polígono convexo, tienes que restringir esto aún más. El cuarto punto tiene que estar en ese semiplano y en la región delimitada por las líneas $\overline{x_2x_1}$ y $\overline{x_2x_3}$ . Ahora para hacer esto una probabilidad comienza a ser más difícil, usted necesita para llegar a un espacio de probabilidad decente para esto. Lo más probable es que, comparando áreas, obtengas una probabilidad que sea la proporción del espacio ocupado por el semicono del ángulo $x_1x_2x_3$ (si se cuenta el área del triángulo $x_1x_2x_3$ para tener una probabilidad de 0.

Answer 2

Suponiendo que la distribución de sus puntos es idéntica, independiente y uniforme en algún cuerpo convexo $K$ Esto es El problema de los cuatro puntos de Sylvester .

La probabilidad $p_4$ que el $4$ puntos son los vértices de un cuadrilátero convexo, depende del cuerpo convexo $K$ . Por ejemplo, en el enlace señalado anteriormente encontrará:

• si $K$ es un disco, $p_4=1-35/(12\pi^2)$ ,
• si $K$ es un triángulo, $p_4=2/3$ ,
• si $K$ es un cuadrado, $p_4=25/36$ ,

y más resultados.