¿Tiene$f(x) \in \mathbb{Z}[x] \ $ las mismas raíces que$f(x) \in \mathbb{F}_p[x] \quad $?

Question

¿Tiene$f(x)\in\mathbb{Z}[x]\ $ las mismas raíces de$f(x)\in\mathbb{F}_p[x] \quad$?

¿Las raíces de un polinomio cambian cuando los coeficientes del polinomio son considerados como elementos de un anillo u otro? ¿La respuesta a este cambio sería si los anillos se contenían, como en el caso de$f(x) \in \mathbb{Z}[x] \ \ $ vs.$\ f(x) \in \mathbb{Q}[x] \quad$?

Answer 1

La última pregunta primera, $2x-1$, de hecho no tiene las mismas raíces en $\bf Z$$\bf Q$. Me gustaría decir $x-2$ tiene la misma raíz en $\bf Z$$\bf Q$, es decir, $2$, pero puedo imaginar alguna situación en la que uno puede querer distinguir entre el $2$ como un entero y $2$ como racional.

Qué $x-7$ tienen la misma raíz en $\bf Z$${\bf F}_5$? Creo que sería un abuso de notación para decir que sí. Pero los abusos de la notación puede ser muy útil, así que no la regla; quisiera hacer absolutamente seguro de poner todas mis cartas sobre la mesa en primer lugar, que es, a decir algo como `identificar los elementos de $\bf Z$ con sus imágenes en ${\bf F}_5$" primero.

Answer 2

De hecho, este fracaso puede ser bastante extremo, ya que para los anillos polinomiales sobre campos finitos hay polinomios no nulos con coeficientes enteros que desaparecen en cada punto del campo. Se proporcionan ejemplos sencillos mediante la codificación de contradicciones booleanas como polinomios en$\mathbb{F}_2[X]$, como$(x \text{ and } x)\text{ xor } x$ que se representa como$x^2 + x$ o$((x \text{ and } x)\text{ and } x) \text{ xor } x$ que se representa como$x^3 + x$. También puede obtener dichos polinomios en$\mathbb{F}_p[X]$ tomando el producto$(x - (p - 1))(x - (p - 2))\cdots (x - 1)x$.

Answer 3

La adición de pregrado nivel de respuesta que sintetiza algunas de las respuestas anteriores:

Haciéndose eco de Arturo, ya que hay un surjection $\phi: \mathbb{Z}[x] \to \mathbb{F}_p[x]$ si $a$ es una raíz de $f$$\mathbb{Z}[x]$, $\phi(a)$ es una raíz de $f$$\mathbb{F}_p[x]$. Así que una raíz en $\mathbb{Z}[x]$ se traduce en una raíz en $\mathbb{F}_p$, sino que pueden superponerse. Por ejemplo, $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$ tiene dos raíces $1,-1$$\mathbb{Z}[x]$, pero con una raíz repetida $1$$\mathbb{F}_2[x]$.

En la misma línea que la de Alex comentario, usted tiene que ser un poco cuidadoso. Si $p$ divide cada coeficiente de $f$,$f \equiv 0$$\mathbb{F}_p[x]$.

Además, algunos elementos irreductibles en $\mathbb{Z}[x]$ no factor en la $\mathbb{F}_p[x]$. Véase Arturo respuesta.

En general, es más fácil factor en $\mathbb{F}_p[x]$ debido a que hay menos elementos para comprobar la divisibilidad por. Y que puede ayudar a determinar la factorización en $\mathbb{Z}[x]$. El teorema afirma que si el coeficiente inicial de $f$ no es divisible por $p$, y si $f$ es irreducible en a$\mathbb{F}_p$, $f$ es irreducible en a $\mathbb{Z}$ (Artin 2ª Edición 12.4.3). El recíproco no se sostiene por las mismas razones, como se discutió en el párrafo anterior.

Factorización en $\mathbb{Z}[x]$ $\mathbb{Q}[x]$ es equivalente a la constante de múltiplos, pero lineal factores son siempre las raíces en $\mathbb{Q}[x]$, mientras que los que no son necesarios, por lo que en $\mathbb{Z}[x]$, como Gerry dijo. Raíces en $\mathbb{Z}[x]$ será raíces en $\mathbb{Q}[x]$, pero no necesariamente al revés.

Answer 4

Respuesta corta: Sí, el conjunto de raíces puede cambiar. $f(x)=x^2+1$ no tiene raíces en $\mathbb{Z}$, pero (la imagen de $f(x)$ en la reducción del modulo $p$) tiene sus raíces en la $\mathbb{F}_p$ si $p=2$ o $p\equiv 1 \pmod{4}$.

Respuesta larga: en Primer lugar, usted tiene que tener cuidado. Si $f(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros, entonces no es literalmente un polinomio con coeficientes en $\mathbb{F}_p$. Más bien, la forma natural de mapa "en la reducción del modulo $p$", que es un anillo de mapa de$\mathbb{Z}$$\mathbb{F}_p$, induce un mapa de$\mathbb{Z}[x]$$\mathbb{F}_p[x]$, y se puede considerar la imagen de $f(x)$$\mathbb{F}_p[x]$.

En virtud de este mapa, si $a\in\mathbb{Z}$ es una raíz de $f(x)$, $a\bmod p$ es una raíz de $f(x)\bmod p$$\mathbb{F}_p[x]$. Pero a la inversa, ciertamente, no se sostiene; por un lado, hay infinitamente muchos enteros que son preimages de $a\bmod p$. Y por el otro, no: usted puede tener $f(x)\bmod p$ tienen raíces en $\mathbb{F}_p[x]$, pero sin raíces en $\mathbb{Z}[x]$, o sólo algunas raíces. Por ejemplo, para los impares, números primos $p$, $f(x) = x^{p}-x$ sólo tiene dos raíces en $\mathbb{Z}$ ($x=0$ y $x=1$), pero (su imagen en la reducción del modulo $p$) $p$ raíces en $\mathbb{F}_p$. Así que las raíces en $\mathbb{Z}$ el rendimiento de raíces en $\mathbb{F}_p$ (a través de la reducción del modulo $p$), pero no a la inversa. Otro ejemplo: $x^2+1$ no tiene raíces en $\mathbb{Z}$, pero (su reducción modulo $p$) tiene sus raíces en la $\mathbb{F}_p$ por cada $p$ que no es congruente a $3$ modulo $4$.

Más en general, la característica universal del polinomio anillo da fácilmente:

Teorema. Deje $R$ $S$ ser conmutativa anillos. Si $h\colon R\to S$ es un anillo homomorphism, a continuación, $h$ induce un anillo homomorphism $\overline{h}\colon R[x]\to S[x]$ del polinomio anillos por $$\overline{h}(r_0+r_1x + \cdots + r_nx^n) = h(r_0) + h(r_1)x + \cdots + h(r_n)x^n.$$ Moreover, the map $\overline{h}$ commutes with evaluation maps in the following sense: if $\mathrm{eval}_a\colon R[x]\R$ is the map $\mathrm{eval}_a(f(x)) = f(a)$, and $\mathrm{eval}_{h(a)}\colon S[x]\a S$ is the evaluation map at $h(a)$, a continuación, tenemos un diagrama conmutativo $$\begin{array}{rcl} R[x] & \stackrel{\overline{h}}{\longmapsto} & S[x]\\ &&\\ \mathrm{eval}_a\downarrow & & \downarrow \mathrm{eval}_{h(a)}\\ R &\stackrel{h}{\longmapsto} & S\end{array}$$ para todos los $a\in R$.

En particular, si se les da $f\in R[x]$ $g\in S[x]$ nos vamos $$\mathrm{Roots}_R(f) = \{r\in R\mid f(r)=0\}$$ y $$\mathrm{Roots}_S(g) = \{s \in S\mid g(s)=0\},$$ entonces $$h\left(\mathrm{Roots}_R(f)\right) \subseteq \mathrm{Roots}_S(\overline{h}(f)),$$ pero la inclusión puede ser apropiado.

Para los ejemplos con inclusión adecuada en el contexto de la reducción del modulo $p$, considere la posibilidad de $f(x)=x^2+1\in\mathbb{Z}[x]$ que no tiene raíces, pero cuya reducción modulo $p$, $p=2$ o $p\equiv 1\pmod{4}$ tiene raíces. O $f(x)=x^p-x$, $p$ una extraña prime, que tiene dos raíces en $\mathbb{Z}$, pero la reducción de su modulo $p$ $p$ raíces en $\mathbb{F}_p$ (por Fermat Poco Teorema). Para ejemplos de inclusión adecuada con los campos y los $h$ inclusión mapa, tome $x^2+1\in\mathbb{R}[x]$, y de considerar su imagen en $\mathbb{C}[x]$; $x^2+1$ no tiene raíces reales, pero su imagen en $\mathbb{C}[x]$ tiene raíces.

Añadido. Cuando se trata con inclusión, generalmente tiene más sentido considerar el conjunto de las raíces en el campo más amplio, y sólo pedimos que yacen en la más pequeña de campo. Así que pensamos en $x^2+1$ como un polinomio con complejo de los coeficientes de y, a continuación, pedir lo $\mathrm{Roots}_{\mathbb{C}}(x^2+1)\cap\mathbb{R}$ (esto será igual a $\mathrm{Roots}_{\mathbb{R}}(x^2+1)$).

También, si $h(a)$, la imagen de $a$ es una raíz de $\overline{h}(f)$, esto no implica, en sí mismo, que $a$ es una raíz de $f(x)$ (aunque no si $h$ es uno-a-uno).

Para resumir la respuesta larga: si $h\colon R\to S$ es un anillo homomorphism, a continuación, la imagen de cualquier raíz de $f(x)$ es una raíz de la imagen de $f(x)$, pero puede haber raíces de la imagen que no son imágenes de las raíces; y no todo en la $R$ cuya imagen es una raíz de la imagen de $f(x)$ es una raíz de $f(x)$ en general. Pero si $h$ es uno-a-uno, a continuación, $h(a)$ es una raíz de $\overline{h}(f(x))$ si y sólo si $a$ es una raíz de $f(x)$.