Probabilidad de asientos adyacentes

Question

Una tarea estados de cuestión:

Una habitación tiene dos filas de seis plazas cada una. Dos amigos están asignados al azar a los 12 escaños. ¿Cuál es la probabilidad de que los 2 amigos sentarse en los asientos adyacentes?

Nota: Amigos sentados detrás de sus amigos no cuentan. Amigos diagonalmente adyacentes a cada uno de los otros no cuentan. Sólo los amigos de configuración uno al lado de otro (izquierda/derecha) en el mismo número de filas.

$$ \cdot~~~~~= Vacío~asiento $$ $$ \times = Ocupados~asiento $$

$$ \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{bmatrix} $$

Mediante el establecimiento de las favorables posibilidades:

$ \begin{bmatrix} \times & \times & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{bmatrix} $$ \begin{bmatrix} \cdot & \times & \times & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{bmatrix} $$ \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \times & \times & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{bmatrix} $$ \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \times & \times & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{bmatrix} $$ \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \times & \times \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{bmatrix} $

$ \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \times & \times & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{bmatrix} $$ \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \times & \times & \cdot & \cdot & \cdot \\ \end{bmatrix} $$ \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \times & \times & \cdot & \cdot \\ \end{bmatrix} $$ \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \times & \times & \cdot \\ \end{bmatrix} $$ \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \times & \times \\ \end{bmatrix} $

Me parece que hay un total de 10 situaciones favorables.

Espero estar en lo correcto en decir que hay un total de ${12 \choose 2}$ total de situaciones posibles (los amigos pueden sentarse en cualquiera de los dos asientos)?

Así es la probabilidad de que 2 amigos se sientan uno al lado del otro en esta habitación de 12 plazas: $$ \frac{10}{{12 \choose 2}} = \frac{10}{66} = 0.1515152$$

Si eso es correcto o incorrecto, supongo, ¿cuál es el mejor enfoque matemático (usando la totalidad de las ${X \choose Y}$ cosa que pensar acerca de este problema?

Answer 1

El cálculo es correcta y eficazmente. Hay $\binom{12}{2}$ igualmente probables formas de seleccionar $2$ escaños $12$.

Se contaba entonces el "favourables", a pesar de que era totalmente innecesario enumerar por separado el favourables en la primera fila y la favourables en el segundo.

Desde que te hiciste el problema de una forma agradable, me deja hacer una fea manera. Llamar a la gente a Alicia y Bob, y asiento de Alicia en primer lugar. Podríamos (i) la puso en un extremo del asiento o (ii) no en un extremo del asiento.

La probabilidad de que poner Alicia en un extremo del asiento es $\frac{4}{12}$, Dado que ella está en un extremo del asiento, la probabilidad de Bob termina al lado de ella es $\frac{1}{11}$.

La probabilidad de que Alicia no está en un extremo del asiento es $\frac{8}{12}$, y, a continuación, Bob ha probabilidad de $\frac{2}{11}$ final junto a ella. Por lo tanto nuestra probabilidad es $$\frac{4}{12}\cdot\frac{1}{11}+\frac{8}{12}\cdot\frac{2}{11}.$$