Álgebra (teoría de las matrices) Mapas lineales

Question

Tuve un problema en mi libro que traté de probar. Aquí está el problema

"Dejemos $x_1,\ldots,x_n$ sean números reales diferentes y $y_1,\ldots,y_n,s_1,\ldots,s_n$ algunos números reales. Demostrar que existe un polinomio $p(x)$ de un grado inferior a $2n$ tal que $p(x_i)=y_i$ y $p'(x_i)=s_i$ por cada $i=1,2,\ldots,n.$ "

Aquí está mi intento:

Dejemos que $V= \{ p(x)\in \mathbb{R}[x] \mid \deg(p(x))<2n\}$ $\Rightarrow$ $\exists$ $h(x)\in V$ s.t $\deg(h(x))<n<2n$ a partir de aquí podemos aplicar el teorema de interpolación de Lagrange. $\Rightarrow$ $h(x_i)=y_i$ .

Dejemos que $Q= \{ g(x)\in \mathbb{R}[x] \mid g(x)=p'(x),\ p(x) \in V, \deg(p(x)) < n \}$

donde $\dim(Q)=n-1$ .

Ahora dejemos que $g(x)\in Q \Rightarrow \deg(g(x))<n-1$

Dejemos que $A: Q\rightarrow \mathbb{R}^n$

$g(x) \rightarrow (g(x_1),\ldots,g(x_n))$

Supongamos ahora que $g(x)\in \ker(A) \Rightarrow g(x_i) = 0$ , $n$ ceros $\Rightarrow \ g(x)=0 \ \Rightarrow \ker(A) = \{0\} \Rightarrow A$ inyectiva $+$ surjective $\Rightarrow g(x_i)=s_i$

Pero como $\deg(h(x))<n \Rightarrow h'(x) \in Q \Rightarrow g(x)=h'(x) \Rightarrow g(x_i)=h'(x_i)=s_i$

Mi profesor echó un vistazo rápido y dijo que era un buen intento pero que no era correcto. Dijo que mi prueba no muestra con certeza que este $h'(x_i)=s_i$ al final se cumplirá $h(x_i)=y_i$

No lo entendí, porque en mi opinión estoy seguro de que el derivado de $h(x)$ que cumplen con $h(x_i)=y_i$ se encuentra en $Q$ y por lo tanto puedo dejar que mi $g(x)$ sea igual a $h'(x)$

Agradecería si alguien puede explicar esto?

Answer 1

Al principio no entendí del todo tu prueba, pero ahí va.

1) En la definición de $Q$ es el conjunto de todos los $G(x)$ pero luego no mencionas $G$ de nuevo, aunque supongo que podemos suponer que es una errata para $g(x)$ . Así que, esencialmente, por lo que puedo decir, $Q = \{p'(x) : \deg p < n-1\}$ . Desde $V$ contiene todos los polinomios de grado inferior a $2n$ si decimos $\deg p < n-1$ Entonces, por supuesto $p \in V$ . Pero ahora fíjate que $p\mapsto p'$ tiene un núcleo unidimensional, por lo que $Q$ tiene dimensión $n-2$ no dimensión $n-1$ .

2) Luego se define el mapa $A:Q \to \mathbb{R}^n$ . Muestras correctamente que el único polinomio en el núcleo es 0, aunque luego dices que $\ker A = \varnothing$ lo cual es imposible, el núcleo siempre contiene la identidad (0). Entonces dices que esto implica $A$ es inyectiva y suryente, pero aunque $A$ es inyectiva, no puede ser sobreyectiva, ya que $\dim Q=n-2< \dim\mathbb{R}^n=n$ . Incluso si $\dim Q$ fueron $n-1$ Esto seguiría siendo imposible.

3) Luego dices que como $\deg h < n$ , $h' \in Q$ . Lo que me hace creer que querías decir $Q =\{ p' : \deg p < n\}$ que sería un espacio vectorial de dimensión $n-1$ , lo que no invalida el problema en (2). Pero a continuación afirma que como $h'\in Q$ El $g(x)$ que encontró antes debe ser $h'(x)$ . Este paso no tiene sentido. ¿Por qué razón estas dos cosas diferentes serían iguales? Ah, ya veo, su última pregunta explica su proceso de pensamiento. La respuesta es que $g$ es un polinomio específico, no una variable. Ha encontrado un polinomio específico en $Q$ (o lo habría hecho si esa parte hubiera sido correcta) por lo que $g(x_i)=s_i$ . Desgraciadamente, como se trata de un polinomio específico, no se puede dejar que sea igual a otra cosa.

Por último, si quieres una pista sobre cómo enfocar el problema, piensa en la interpolación de Lagrange, y en particular piensa en los siguientes polinomios: $$ E_i = \frac{\prod_{j=1}^n (x-x_j)^2}{x-x_i} = (x-x_1)^2(x-x_2)^2\cdots (x-x_{i-1})^2(x-x_i)(x-x_{i+1})^2\cdots (x-x_n)^2$$ Cuáles son sus derivados en los distintos $x_i$ ?

Answer 2

Definir $T:\mathbb{R}[x]\rightarrow \mathbb{R}^{2n}$ , $T(p(x))=(p(x_1),\ldots,p(x_n), p'(x_1),\ldots,p'(x_n))$ .

Tenga en cuenta que si $p(x)\in \ker(T)$ entonces $x_1,\ldots,x_n$ son raíces de $p(x)$ con multiplicidad mayor o igual a $2$ ya que son distintos el grado de $p(x)$ es mayor que 2n-1.

Así que si $P_{2n-1}$ es el subespacio de polinomios con grado menor o igual a 2n-1 entonces $T:P_{2n-1}\rightarrow \mathbb{R}^{2n}$ es inyectiva y, por tanto, sobreyectiva.