Algo que no es continuo se puede demostrar que es continuo (por lo que es continuo - definiciones - pero no lo ve!)

Question

Me siento a este post, yo estoy en lo correcto y es continua, o porque estoy en $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ que decir: "si obras del delta, de cualquier menor delta"! (que puede ser probada por algunos * teorema del valor) no funciona.

Considere esto, y ahora me estaba tratando de demostrar que no es continua, ahora estoy convencido de que es. $f:\mathbb{Q}\rightarrow\{1,2\}$ (Elegí 1 y 2 para hacer el dibujo más bonito) dado por $f(x)=1$ si $x<\sqrt{2}$ $f(x)=2$ lo contrario,/$x>\sqrt{2}$ - es importante que este cambio suceda acerca de un número en $\mathbb{R}$ pero no $\mathbb{Q}$.

Ahora recuerdo cuando se acredite la continuidad de 1/x hace más de un año, me enteré de que es útil (necesario) para el obligado delta anteriormente, cuando se tienen puntos de discontinuidad, esto evita que se acerque demasiado, sino que también mantiene a un lado de la discontinuidad punto.

Busco a probar $\forall\epsilon>0\exists\delta>0:|x-a|<\delta\implies|f(x)-f(a)|<\epsilon$ a media continua en $a$.

Ahora que el límite superior he mencionado, debido a que esta función es plana no necesito encontrar una pequeña delta que es una función de epsilon y tener el mínimo. La prueba es trivial.

Deje $\delta=|\sqrt{2}-a|$, ahora si $|x-a|<\delta$ estoy diciendo en palabras ", La distancia de x a a es menor que la distancia de a a la mala punto" que significa"$x\in(a-\delta,a+\delta)$, lo que es claramente un ... pedazo de dominio ya sea en su totalidad antes de que $\sqrt{2}$ o después.

En esta $f(x)-f(a)=0$, que es menos de $\epsilon$ todos los $\epsilon>0$, con lo que me han demostrado que esta función es continua. Aunque tiene un salto en él! Es continua en a $\mathbb{Q}$

Lo que creo que he aprendido

Creo que he aprendido que, si bien 1 y 2 parecen lejos de los números reales, o incluso fracciones, en el conjunto {1,2} no hay ningún valor medio. Así que el salto no es en realidad un salto en todos.

Con esto no estoy seguro de si $\sqrt{2}$ cosa que es realmente importante. Si tenemos una función que era la 1 si $x\le\frac{1}{2}$ decir, más de 2. ¿tiene esto de la "no-salto de calidad"? Puedo ver un caso para decir que no si $\epsilon<1$, entonces no se puede ser continua, porque no puede haber un cambio cerca de $x=\frac{1}{2}$ por un valor de más de uno, no importa cuán pequeño $\delta$ (en x=0.5).

Sin EMBARGO, podría ser que sí. Si usted dice que "el cambio debe ser -1,0 o 1" por lo tanto confinamiento $\epsilon$ tomar 1, todavía no hay (como 1 no es menor que 1), pero se podría cuestionar si es justo para intentar imponer esta "menor que" en {1,2} de esta manera. Si es que alguna vez los cambios no puede haber más pequeño salto. Estoy leyendo sobre el tema, me estoy planteando esto porque mi fundaciones tienen un poco desmenuzado, me gustaría un poco de ayuda de parches de vuelta.

Mis disculpas por el naff formato/estilo de esta pregunta, que sufre desde que me hizo pensar acerca de lo que estoy escribiendo y sacudiendo entre varias maneras diferentes y hacer que sea coherente. Me lo he leído dos veces y es horrible, pero no puedo pensar en otra manera de expresarlo.

Answer 1

La prueba es correcta. La función de $f$ es continua, y su argumento de que "si esto $\delta$ funciona entonces lo hará de cualquier menor $\delta$" es perfectamente sano.

En este ejemplo se tiende a desafiar a la intuición de la gente acerca de la continuidad. Una manera en que me gusta pensar es que la continuidad es un pointwise de la propiedad. Si desea reclamar que una función $f : X \to Y$ no es continua, se tiene que presentan un punto de $x \in X$ en caso de que la discontinuidad se produce. Aquí con $X = \mathbb{Q}$, le gustaría decir, la discontinuidad que se produce en $x = \sqrt{2}$, pero por supuesto que no es un punto de $\mathbb{Q}$. De hecho, no hay punto de $\mathbb{Q}$ donde se produce una discontinuidad, por lo que la función debe ser continua.

Una manera de abordar este problema es a través del concepto de continuidad uniforme. Sería un buen ejercicio para demostrar que, aunque su función $f$ es continuo, no es uniformemente continua. De hecho, otro gran ejercicio es mostrar que una función $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ es uniformemente continua si y sólo si tiene una extensión continua a $\mathbb{R}$, es decir, $f = g|_{\mathbb{Q}}$ para algunos continua $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. En cierto sentido, uniforme de continuidad es capaz de detectar los saltos que se producen en los "agujeros" en el dominio.

Answer 2

Una más de mente simple ejemplo para ilustrar el punto, la función es $f(x)=\frac{1}{x}$. Tenga en cuenta que $f$ es continua en cada punto donde se define. Si usted insiste en asignar un valor a $f$ en el origen, el resultado de la función será necesariamente discontinua. Del mismo modo la función que usted ha mencionado es continua en todas partes está definido. Si asigna un valor en $\sqrt{2}$ se convertirá en discontinuo.

Edición 1. Me di cuenta de que @JiK hizo el mismo punto en un comentario. Si lo desea, puede dar formato a su comentario como una respuesta y voy a eliminar de la mina.