El bebé-brots son todos "centrado" en la $c$ valores de la super-atractivo de las órbitas. Si $f_c(z)=z^2+c$ $f_c^n$ indica el $n^\text{th}$ itera$f_c$, $c$ valores de la super-atractivo órbitas que tienen un período dividiendo $n$ son exactamente las raíces de $f_c^n(0)=0$. Tenga en cuenta que este es un polinomio en a $c$. Por ejemplo, si $n=3$, luego
$$f_c^3(z) = \left(\left(z^2+c\right)^2+c\right)^2+c \: \: \text{ so } \: \: f_c^3(0) = \left(c^2+c\right)^2+c.$$
Las raíces de este polinomio son aproximadamente $c=0.0$, $c=-1.75488$, y $c=-0.122561 \pm 0.744862i$; estos se muestran como puntos verdes en el conjunto Mandelbrot imagen de abajo. Los pequeños puntos rojos muestran la otra super-atraer a los parámetros para todos los periodos hasta el período de cinco años.
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Vemos enseguida dos dificultades. La primera (y más fácil), el origen aparece. Esto corresponde a la algebraicas hecho de que uno divide en tres y a la dinámica hecho de que un punto fijo de $f_c$ es también un punto fijo de $f_c^3$. Esto es realmente no es gran cosa; sólo hemos de encontrar algunos puntos más de una vez.
Más complicado, es cómo lidiar con el hecho de que esta técnica se encuentra la hiperbólica centro de periódico bombillas (es decir, los círculos conectados a la cardioids), así como la hiperbólico de los centros de la bebé-brots (es decir, la cardioide centros). En principio, esto se puede resolver de la siguiente manera: Asociados con cada uno de estos puntos es una cerca de la bifurcación. La bifurcación de puntos para que los bulbos adosada a la cardioide se muestra en amarillo en la figura. Podemos distinguir una bombilla de un bebé-brot utilizando la naturaleza de esta bifurcación. Para los bulbos, estos son todos así llamado período de duplicación de las bifurcaciones; o, en realidad, el período de triplicando o cuadruplicando o cualquiera que sea el caso. Esto simplemente significa que, a medida que pasa a través del punto de bifurcación a lo largo de la línea que contiene tanto la bifurcación y la hiperbólica centro, que el período de la correspondiente atractivo órbita aumenta (o disminuye) por un factor multiplicativo. Asociado con el bebé-brots son los llamados silla-nodo de bifurcaciones en el que la órbita periódica (o al menos su atractiva naturaleza) desaparece completamente equivocado. Por lo tanto, podemos comprobar el comportamiento dinámico de un punto genérico en esta línea frente a la hiperbólica centro.
Por supuesto, para que esto funcione, debemos ser capaces de encontrar el punto de bifurcación. Esto se hace mediante la resolución del sistema de
$$\begin{align}
f_c^n(z)&=z \\
(f_c^n)'(z)&=1.
\end{align}
$$
Esto se puede hacer con bastante facilidad mediante una iteración de Newton, ya que tenemos buenas inicial estimación de $c$$z$.
En la imagen de abajo, hacemos zoom en la parte superior de la primera imagen. El más prominente de bebé-brot corresponde a un super-atractivo órbita de período 4. También he marcado la asociada a la silla-nodo de punto de bifurcación mediante la técnica descrita anteriormente. Hay un par de otras bebé-brots en esta foto no se marcan, porque corresponden a las de orden superior, super-atracción de las órbitas.
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