La siguiente pregunta me ha puesto contra la pared: sea p un polinomio complejo de grado d. Supongamos que |p(z)|≤1 para todo z tal que |z|=1 y |z-1|≥δ (para algún δ>0 pequeño). Entonces, ¿cuál es la mejor cota superior que se puede demostrar para |p(1)|? (Sólo me importa la dependencia asintótica de d y δ, no las constantes).
Para la pregunta análoga donde p es un grado-d real polinomio tal que |p(x)|≤1 para todo 0≤x≤1-δ, sé que el límite superior derecho de |p(1)| es |p(1)|≤exp(d√δ). El ejemplo extremo aquí es p(x)=T d ((1+δ)x), donde T d es el d th Polinomio de Chebyshev.
De hecho, utilizando el polinomio de Chebyshev, no es difícil construir un polinomio p en z así como su conjugado complejo z* , de tal manera que
(i) |p(z)|≤1 para todo z tal que |z|=1 y |z-1|≥δ, y
(ii) p(1) ~ exp(dδ).
También se puede demostrar que esto es óptimo, para polinomios tanto en z como en su conjugado complejo.
La cuestión es si se puede obtener un mejor límite superior de |p(1)| explotando el hecho de que p es realmente un polinomio en z. El ejemplo de mayor crecimiento que he podido encontrar tiene la forma p(z)=C d,δ (1+z) d . Aquí, si elegimos la constante C d,δ para que |p(z)|≤1 siempre que |z|=1 y |z-1|≥δ, encontramos que
p(1) ~ exp(dδ 2 )
Para mi aplicación, la diferencia entre exp(dδ) y exp(dδ 2 ) es toda la diferencia del mundo.
He buscado unos 6 libros de teoría de la aproximación y, como suele ocurrir, responden a todas las preguntas imaginables excepto a la que yo quiero. Si alguien versado en la teoría de la aproximación puede darme una indicación, estaría increíblemente agradecido.
Muchas gracias. --Scott Aaronson
PS. La pregunta es respondida más abajo por David Speyer. Para quien quiera ver explícitamente el polinomio que implica el argumento de David, aquí está:
p d,δ (z) = z d T d ((z+z -1 )(1+δ)/2+δ),
donde T d es el d th Polinomio de Chebyshev.
