Fijar un anillo$B$. Dado un% de subutilización% #%, definimos$A \subset B$ A% #% A$$A^! := \{b \in B : ab = ba,\text{ }\forall\,a \in A\},$ B% {!}) ^!, \ Text {} A ^ {!!!}: = (A ^ {!!}) ^! $, Etc.
Mi pregunta es, ¿tenemos una inclusión$the centralizer of $? ¿Qué es un ejemplo de un par$ in $ donde la inclusión es estricta?
Simplemente escribir la definición que da la respuesta. Deje $a \in A$. Entonces, por definición de $A^!$ (horrible la notación por el camino), para todos los $b \in A^!$, $ab = ba$. Esto significa, precisamente, que el $a \in (A^!)^!$, y esto era cierto para todos los $a \in A$, lo $A \subset (A^!)^!$.
Cualquier estricto sub-anillo de un anillo conmutativo da un ejemplo donde la inclusión es estricta, por ejemplo, $\mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} = (\mathbb{Z}^!)^!$ (y aquí se ve por qué la notación no es buena, no está claro cuál es el $!$ significa sin saber que yo la intención de $\mathbb{Q}$ a ser el ambiente de anillo, además de en conflicto con la costumbre de notaciones para Koszul duales).
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