En un pregunta reciente Pregunté por qué las series tienen un nombre distinto al de la suma, y la respuesta general fue que una serie no tiene las bonitas propiedades de la suma. ¿Significa esto que es malo llamar a las series una generalización de la suma?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Concepto $X$ generaliza concepto $Y$ si cada instancia de $Y$ es un caso especial de $X$ al menos en lo que respecta a alguna propiedad relevante de los conceptos implicados.
La serie infinita $\sum_{n=1}^{\infty}s_{n}$ se define como el límite de las sumas parciales de una secuencia $(s_{n})$ .
Dada una "suma finita", se puede pensar en ella como una serie infinita en la que, para algún $N$ tenemos $s_{n}=0$ siempre que $n>N$ en el sentido de que la serie infinita convergerá al valor del sumatorio finito (ésta es la "propiedad relevante" en este caso).
Por lo tanto, el concepto de serie infinita puede ser considerado como una generalización válida del concepto habitual de suma, por lo que la respuesta a su pregunta original es no.
Cauchy
Puntos
298
Los espacios topológicos generales no tienen un gran número de las buenas propiedades que tienen los espacios métricos. Por ejemplo, sin la propiedad de Hausdorff, una secuencia en un espacio topológico puede tener más de un límite (una propiedad muy poco deseable). Sin embargo, no creo que nadie esté en desacuerdo con la afirmación de que los espacios topológicos generalizan los espacios métricos.
