Prueba la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln{n}+\sin{n}}$ convergen

Question

Cómo probar esta serie

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln{n}+\sin{n}}$$

¿converger? No puedo hacer una prueba de comparación con la fórmula de Leibniz para $\pi$ porque las series no son $>0$ para todos $n$ . No puedo hacer una prueba de relación porque no puedo calcular el límite, la prueba de la serie alterna no se puede aplicar, la serie absoluta no es convergente. Me he quedado sin ideas.

¿Alguna pista?

Answer 1

Dejemos que $$a_n = \frac{(-1)^n}{\sin n + \ln n }$$

Queremos demostrar que $\sum a_n$ converge.

Para ello, primero hay que tener en cuenta que $a_n$ es negativo cuando $n$ es impar, y positivo cuando $n$ está en paz.

Escribiremos $\sum a_n < \sum b_i + \sum c_j$ , donde $b_i$ son términos negativos (sólo con índices Impares $i$ ) que son menores en valor absoluto que los términos negativos $a_i$ y $c_j$ son términos positivos (sólo con índices pares $j$ ) que son mayores en valor absoluto que los términos positivos $a_j$ .

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Queremos elegir $\{b_i\}$ y $\{c_j\}$ para satisfacer las siguientes condiciones:

• $\sum b_i$ (suma tomada sobre impar $i$ ) converge por la prueba de la serie alterna

• $\sum c_j$ (suma tomada incluso $j$ ) converge por la prueba de la serie alterna

• $|a_i| > |b_i|$ o de forma equivalente, $a_i < b_i$ , para todos los impar $i$

• $a_j < c_j$ para todos incluso $j$

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Para $i$ impar, deja $$b_i = \frac{-1}{2 + \ln n } > a_i$$

Para $j$ incluso, que $$c_j = \frac{1}{-2 + \ln n } > a_i$$

(Estoy eligiendo $2$ y $-2$ aquí porque son mayores que el máximo de $\sin n$ y menos del mínimo de $\sin n$ respectivamente)

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Tenga en cuenta que $b_i$ y $c_j$ son ambos monótonamente decrecientes para $i,j > 10$ .

(Estoy eligiendo $10$ aquí porque es mayor que $e^2$ para evitar denominadores negativos debido a $-2 + \ln n$ )

Por lo tanto, por la prueba de las series alternas, sabemos que las siguientes sumas deben converger:

$$\displaystyle\sum_{i=11,\, i \text{ odd}}^\infty b_i$$

$$\displaystyle\sum_{j=10,\, j \text{ even}}^\infty c_j$$

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Por lo tanto, $\sum a_n$ está limitada por encima por la suma de dos series convergentes: $$\displaystyle\sum_{n=10}^\infty a_n < \left(\displaystyle\sum_{i=11,\, i \text{ odd}}^\infty b_i \right) + \left(\displaystyle\sum_{j=10,\, j \text{ even}}^\infty c_j\right)$$