Cada cuerpo sabe alguna cosa sobre el cociente de oro $\phi$
¿Una definición de $\phi $ es como por debajo del $$\varphi = 1 + \cfrac{1}{{1 + \cfrac{1}{{1 + \cfrac{1}{{1 + \,\ddots \,}}}}}}$ $ mi pregunta es acerca de esta definición, existe una prueba visual para esta fórmula?
¿En general, podemos traer algún sentido visual para fracciones continuadas?
Agradezco sobre le Consejo de antemano.
(Miré para este objeto en Internet, pero no encuentro...)
Utilice el rectángulo dorado. El rectángulo dorado es un rectángulo tal que si se quita desde el lado más corto de un cuadrado, el rectángulo restante es similar a la original. Lo que ocurre es que la proporción áurea es la relación entre el largo y el lado corto del rectángulo dorado, por lo que podemos sacar de esta imagen, desde el cual podemos ver que $$\phi = 1+ \frac{1}{\phi}$$ luego de conectar el lado derecho al lado izquierdo repetidamente rendimientos $$\phi = 1+ \cfrac{1}{\phi}= 1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{\phi}}=1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{\phi}}}=\dotsb$$
Ahora me podría explicar por qué el rectángulo dorado tiene al lado proporción igual a la proporción áurea. Hay varias definiciones equivalentes de la proporción áurea, y pasan a ser iguales. Una definición es simplemente la definición de la proporción áurea a ser la proporción en los lados del rectángulo dorado. Así que si usted acepta que, como la definición de la proporción áurea, entonces esta es la prueba que desea. Si usted no acepta eso, y la demanda me derivan $\phi = 1+ \frac{1}{\phi}$ a través de otra definición, entonces usted puede intentar usted mismo, no debería ser demasiado difícil. Aunque, si su definición no es una imagen de definición como el mío, es menos probable que el rendimiento de una imagen de prueba.
El dispositivo a continuación se calcula la recorre
$$x_{n+1}=1+\frac1{x_n},$$ starting with $x_0=2$.
A partir de $(x_n,0)$, proyecto verticalmente a $(x_n,1)$ y trazar la línea desde el origen hasta este punto. Se cruzan con $x=1$, dando $\left(1,\dfrac1{x_n}\right)$ proyecto y en la dirección SE a $\left(1+\dfrac1{x_n},0\right)=(x_{n+1},0)$.
Este proceso converge a la verde del ciclo, que define un rectángulo dorado (dibuja un cuadrado alrededor de la flecha y SE expresa la similitud).
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