Complicado Lagrange - comprobación de reglas de Feynman

Question

Tengo el siguiente ejemplo de Lagrange:

\begin{equation} \begin{split} \mathcal{L} &= \left[ \bar{\psi} (i \require{cancel}\cancel{D} -M)\psi - \frac14 F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} \right] + \\ & +\sum_{i={1,2}}\bigg[ (D_\mu\phi_i) (D^\mu\phi_i)^\dagger -m_i^2 |\phi_i|^2 \bigg] + \\ & +\frac12 \bigg[ \chi^\dagger \gamma^0(i \cancel{\partial}-m_\chi)\chi \bigg] + \\ & +\sqrt{2} \lambda \bigg[ \phi_1\chi^\dagger\gamma^0 P_L \psi - \phi_2\chi^\dagger\gamma^0 P_R \psi +\mbox{h.c.}\bigg] \end{split} \end{equation}

Con $D_\mu=\partial_\mu-i\lambda A_\mu$, $P_{R/L} = (1 \pm \gamma^5)/2$. El campo $\psi$ es un fermión, el $\phi_i$ son complejos campos escalares y $\chi$ es un Majorana fermión. Quiero escribir las reglas de Feynman.

Ahora, el primer tramo es simplemente un QED de Lagrange, lo que incluye el $\psi$ y propagadores de fotones y la habitual interacción vértice. Del mismo modo, el segundo soporte contiene los dos complejos de escalar fielda junto al campo electromagnético, así que básicamente sólo dos Escalares QED Lagrangians.

No estoy seguro acerca de la tercera soporte, porque no sé cómo tratar a los fermiones de Majorana. Es la cinética plazo, y la única diferencia es la presencia de $\gamma^0$, pero no estoy seguro de lo que debe de aparecer en el propagador? Simplemente tiene que obtener multiplicado, como:

$$\gamma^0 \frac{i}{\cancel{p}-m_\chi + i\epsilon} \quad ?$$

Si es así, ¿cómo puedo saber qué cara poner la gamma de la matriz?

Para la cuarta soporte, las interacciones son entre uno de los complejos de campos escalares, el Majorana spinor y un Dirac spinor. No sé cómo incluir la proyección y gamma en esto. Son los vértices de solo va a ser:

$$\sqrt{2} \lambda \gamma^0 P_{R/L} \quad ?$$

¿Cuáles serán los vértices?

En general, mi problema es averiguar cómo incorporar los objetos, como la gamma matrices o proyección de los operadores en el correspondiente reglas de Feynman para interacciones extrañas como esta.

Answer 1

Sobre el Majorana spinors, pensar en ellos como 'real' spinors, mientras Dirac spinors son "complejos". Para un verdadero campo escalar, $\phi = \phi^*$, mientras que para un complejo campo escalar $\phi$ $\phi^*$ son independientes grados de libertad. Del mismo modo, para un Dirac spinor $\psi$ $\psi^*$ son independientes grados de libertad, mientras que para un Majorana spinor $\psi^* = \psi$. El anti-relaciones de conmutación para el valor de gamma, matrices será el mismo que antes.

Para encontrar la función de Green o propagador de la Majorana spinor $\chi$, usted tiene que - idéntica a la del caso de un Dirac spinor - hallar la inversa de este operador $$ \bigg[ \gamma^0(i \cancelar{\partial}-m_\chi) \bigg]G(x-y) = i\delta(x-y) $$ que le dará $$ G(x-y) = \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} \frac{i(\cancelar{p} + m_\chi)\gamma^0}{p^2 m^2 + i\epsilon} e^{-ip\cdot(x-y)} $$ Tenga en cuenta que $\gamma^0\cancel{p}\gamma^0\cancel{k} = \gamma^0 \gamma^\mu \partial_\mu \gamma^0 \gamma^\nu \partial_\nu = - (\gamma^0)^2 \gamma^\mu \partial_\mu \gamma^\nu \partial_\nu$. Por lo tanto, usted tiene que poner el $\gamma^0$ en el anterior propagador de la derecha, para garantizar el signo negativo cancelar (como cada vez que se tire de la $\gamma^0$ 'a través de' una $\cancel{p}$ se obtiene un signo menos).

Debido a que el Majorana spinor es 'real', $\chi$ $\chi^*$ son los mismos. $\psi$ es un Dirac spinor y por lo tanto tiene diferentes quirales componentes (que se obtienen a partir de la proyección de los operadores de $P_L$$P_R$). Los términos de interacción decir que este Majorana spinor $\chi$ interactúa con la diferencia de quirales partes (el de la izquierda y mano derecha de componentes) de la Dirac spinor $\psi$ en diferentes formas $$ \sqrt{2} \lambda \chi^\daga\gamma^0 \bigg[ \phi_1 P_L - \phi_2 P_R \bigg] \psi+\mbox{h.c.} $$ Si quieres hacer diagramas de Feynmann esto significa que vamos a tener dos distinguir en todas partes entre los diagramas de $\phi_1$$\phi_2$, e $P_L \psi$$P_R \psi$, ya que estos diferentes componentes de los campos que van a interactuar en diferentes maneras.

Para el primer término de interacción (la participación de $\chi^\dagger$, $\phi_1$ y $P_L \psi$) el término de interacción de hecho será lo que usted dijo que sería: $\sqrt{2}\lambda\gamma^0$.