Mapa afines $f : P_1 \to P_2$ entre dos planos

Question

Estoy aprendiendo afín a la geometría, específicamente afín a los mapas, y necesita ayuda con el siguiente problema :

Damos las afín a los aviones

$$P_1 = \{(x, y, z) \in \mathbb R^3 : 3x + 2y + z = 6\} \quad \text{and} \quad P_2 = \{(x, y, z) \in \mathbb R^3 : -x - 2y + 3z = 2\}$$

$(1)$ Encontrar afín bases de $(a_0, a_1, a_2)$$(a_0', a_1', a_2')$$P_1, P_2$, respectivamente, con $a_i$ (resp. $a_i'$) de los puntos de intersección de los planos con los tres ejes $x, y, z$.

$(2)$ Encontrar la transformación afín $f : P_1 \to P_2$, con respecto a las anteriores bases, que envían $a_0$ a $-a_0'+2a_2'$, $a_1$ a$(a_0' + a_1' + a_2')/3$$a_2$$(a_1' + a_2')/2$. Es regular (invertible)? Hallar la inversa de la imagen del punto de $3a_1' - 5a_2'$.

Desde que estoy teniendo dificultades para $(2)$ voy a compartir mi trabajo para $(1)$.

$(1)$ Primer lugar, determinar la base deseada para el avión $P_1$. Para encontrar el $x$-interceptar hemos establecido la $y$ $z$ coordenadas iguales a cero. Esto le da

$$3x + 2(0) + 0 = 6 \iff x = 2 \implies a_1 = (2, 0, 0).$$

Procedemos de igual manera para la $y$ $z$- intercepción. Nos encontramos con los vectores $a_1 = (0, 3, 0)$$a_2 = (0, 0, 6)$. Por lo tanto

$$(a_0, a_1, a_2) = ((2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 6))$$

es el deseado ordenó afín base para $P_1$.

Utilizando la misma metodología, el deseado afín base para $P_2$ está dado por

$$(a_0', a_1', a_2') = ((-2, 0, 0), (0, -1, 0), (0, 0, 2/3)).$$

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Es mi trabajo correcto para $(1)$? Por desgracia no tengo idea de cómo solucionar $(2)$. Estoy en busca de una respuesta que hace uso de la siguiente definición :

Definición. Una transformación afín de $\mathbb R^n$ es una función de $t : \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ de la forma $$t(\mathbf x) = \mathbf{Ax} + \mathbf b,$$ where $\mathbf Un$ is an invertible $n \times n$ matrix and $\mathbf b \in \mathbb R^n$.

Answer 1

Una gran pista: ya tiene una base afín para $P_1$, decir $B=\{a_1 , a_2, a_3\}$ y $f: P_1 \rightarrow P_2$ es afín. Por lo tanto completamente se identifica siempre que sabemos los valores de $f$ en la base $B$. Nota que cualquier $a \in P_1$ hay único $\lambda_1 ,\lambda_2 ,\lambda_3 \in R$ $\lambda_1 +\lambda_2 +\lambda_3=1$, que $a=\lambda_1a_1 +\lambda_2 a_2+\lambda_3 a_3$. Ahora ya es de $f$ % afín $$f(a)=f(\lambda_1a_1 +\lambda_2 a_2+\lambda_3 a_3)=\lambda_1f(a_1) +\lambda_2 f(a_2) +\lambda_3 f(a_3)$$

y sabes qué %#% de #%! Para encontrar una forma cerrada de $f(a_i)$ donde $f(x,y,z)$, determinar %#% de #% en términos de $(x,y,z) \in P_1$.