¿Cuántas curvas planas no infinitas con simetría de reflexión infinita?

Question

Si consideramos una curva con infinitas líneas distintas de simetría reflexiva, generalmente pensamos en un círculo. Sin embargo, ¿podemos demostrar que el círculo es la sólo curva plana finita que tiene infinitas líneas de simetría, ¿o existen más curvas de este tipo? (No estoy muy seguro de cuál es el término formal para describir esto, pero por "finita" me refiero a que la curva no llega al infinito en ningún punto, es decir, para todo $(x,y)$ en la curva, existen algunos números reales $a$ , $b$ , $c$ y $d$ tal que $x\in[a,b]$ y $y\in[c,d]$ por lo que las líneas no cuentan como curvas "finitas").

Hasta ahora, he considerado dos posibilidades para demostrar que sólo los círculos tienen esta propiedad, pero ninguna prueba formalmente que los círculos sean los únicos. La primera es que las curvas planas finitas con simetría de reflexión infinita tendrán un lugar geométrico de puntos que equidistan de algún "centro" (punto de intersección de dos o más líneas de simetría), y creo que sólo un círculo satisface esta propiedad. La segunda es que una curva finita con cualesquiera líneas de simetría reflexiva puede dividirse en partes congruentes mediante líneas de simetría:

Sin embargo, las piezas deben ser congruentes independientemente del número de cortes que se realicen para que la curva tenga simetría de reflexión. Por lo tanto, la curva debe poseer infinitos rotacional simetría también, porque cualquier "pieza" (formada por las líneas de simetría) girada sobre cualquier otra pieza debe coincidir. De lo contrario, las piezas se intersecarían en un número finito de puntos. Sin embargo, la intersección en un número finito de puntos implica que otra línea de simetría cortará la curva en trozos no congruentes, por lo que no puede tener una simetría de reflexión infinita. Por ejemplo, vemos la curva A de intersectarse antes, lo que demuestra que no tiene una simetría rotacional infinita y, en consecuencia, de reflexión:

Sólo un círculo, como curva B evita estas intersecciones finitas.

¿Puede formalizarse alguna de estas dos demostraciones, o hay alguna otra forma de demostrarlo o refutarlo? Cualquier respuesta de nivel universitario está bien, pero agradecería respuestas más sencillas.

Answer 1

Reclamación 1. Sea $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ sean tres líneas en el plano que hacen no se cruzan en un único punto. Entonces el único subconjunto acotado del plano que es simétrico a las tres rectas es el conjunto vacío.

Prueba. Si dos de las líneas son paralelas, entonces la composición de las reflexiones en ellas es una traslación. Un conjunto acotado no vacío no puede ser invariante de traslación.

Así que podemos suponer que las tres líneas rodean un triángulo $\Delta$ . Sea $O$ sea un punto interior de $\Delta$ . Sea $S$ sea un conjunto no vacío y acotado y simétrico con respecto a la $\ell_i$ . Entonces el cierre $\overline S$ también tiene estas propiedades y además es compacta. Sea $A\in S$ sea un punto a la máxima distancia de $O$ . Considere la línea $OA$ . El rayo que comienza en $O$ y que no contenga $A$ no está contenido en $\Delta$ y, por lo tanto, interseca $\ell_i$ . Entonces $O$ y $A$ están en el mismo semiplano determinado por $\ell_i$ lo que implica que el reflejo de $A$ en $\ell_i$ está más lejos de $O$ que $A$ - contradicción. $\square$

Reclamación 2. Cualquier conjunto compacto no vacío que es simétrico con respecto a las reflexiones en infinitas líneas es la unión de círculos concéntricos (con radio $0$ permitido).

Prueba. Como consecuencia de la afirmación 1, sólo tenemos que considerar el caso de infinitos ejes de simetría que pasan por un punto común $O$ . Sea $C$ sea nuestro conjunto compacto simétrico, $A\in C$ un punto, y $S$ el círculo alrededor $O$ a través de $A$ . Necesitamos mostrar $S\subseteq C$ . Supongamos que $X\in S\setminus C$ . En $C$ es compacto, existe $r>0$ de forma que $r$ -bola alrededor $X$ es disjunta de $C$ . La intersección de esta bola con $S$ es un arco $\widehat{X_1X_2}$ subtendiendo algún ángulo $\angle X_1OX_2=\alpha$ . Elige un número natural $n>\frac{4\pi }{\alpha}$ y considere una $n$ -gon inscrito a $S$ . Entre nuestros infinitos ejes de simetría, encontramos dos que intersecan el mismo borde de esta $n$ -gon. Entonces el ángulo entre estos ejes es $\le \frac{2\pi}n<\frac\alpha2$ . La composición de su reflejo es entonces una rotación por un ángulo $<\alpha$ . Después de finitamente muchas aplicaciones de esta rotación, $A$ se transporta a nuestro arco $\widehat{X_1X_2}$ contradicción. $\square$

Corolario. La única curva acotada con infinitas simetrías de refección es el círculo.

Prueba. Según la afirmación 2, (el cierre de) la curva debe ser la unión de círculos concéntricos. Se trata de una curva sólo si en realidad es un único círculo. $\square$

Answer 2

He aquí un teorema en la línea de lo que pides. Para no preocuparme por la definición de "curva finita", me limitaré a considerar subconjuntos compactos arbitrarios de $\mathbb{R}^2$ .

Teorema : Sea $K\subset\mathbb{R}^2$ sea compacta y supongamos que tiene infinitas líneas de simetría (es decir, líneas $\ell$ de forma que la reflexión a través de $\ell$ mapas $K$ a sí mismo). Entonces existe un punto $p\in\mathbb{R}^2$ tal que $K$ es una unión de círculos con centro $p$ (posiblemente incluyendo el círculo degenerado $\{p\}$ ).

Prueba : Podemos suponer $K$ no es vacío. Primero, $K$ no puede tener dos rectas paralelas como rectas de simetría, ya que la composición de sus reflexiones dará una traslación no trivial y cualquier conjunto no vacío invariante bajo una traslación no trivial es ilimitado.

Dado un punto $p\in\mathbb{R}^2$ , dejemos que $G_p$ sea el grupo de rotaciones centrado en $p$ que fijan $K$ . Obsérvese que si dos líneas de simetría de $K$ atravesar $p$ entonces $G_p$ no es trivial, ya que la composición de las reflexiones a través de estas líneas da una rotación alrededor de $p$ . Si $G_p$ es infinito, entonces contiene rotaciones por ángulos arbitrariamente pequeños. Se deduce que para cualquier $q\in K$ el conjunto de puntos obtenidos aplicando elementos de $G_p$ a $q$ es denso en el círculo centrado en $p$ de paso $q$ . Desde $K$ es cerrado, por lo que contiene todo este círculo. De ello se deduce que $K$ es una unión de círculos centrados en $p$ .

Por lo tanto, podemos suponer que $G_p$ es finito para todo $p$ . L $n_p$ sea el orden del grupo $G_p$ . Se deduce que dos líneas de simetría cualesquiera de $K$ de paso $p$ se encuentran en un ángulo que es múltiplo entero de $\pi/n_p$ . En particular, sólo puede haber un número finito de líneas de este tipo. Dado que $K$ tiene infinitas líneas de simetría, debe haber infinitos puntos diferentes $p$ tal que $G_p$ no es trivial.

Además, las cifras $n_p$ debe ser relativamente primo para diferentes puntos $p$ . En efecto, si $n_p$ y $n_q$ no son relativamente primos, entonces hay un ángulo no trivial $\theta$ tal que tanto una rotación alrededor de $p$ por ángulo $\theta$ y una rotación alrededor de $q$ por ángulo $-\theta$ fija $K$ . La composición de estas dos rotaciones es entonces una traslación (que no es trivial si $p\neq q$ ), pero ninguna traducción puede arreglar $K$ .

Por último, el conjunto de puntos $p$ tal que $G_p$ es no trivial está acotada. En efecto, si $n_p\neq 1$ entonces $K$ se fija mediante una rotación no trivial alrededor de $p$ . Desde $K$ no es vacío, lo que significa que $K$ debe contener un punto que esté al menos tan lejos del origen como $p$ . Desde $K$ está acotado, el conjunto de $p$ para el que esto es posible está acotado.

Por tanto, el conjunto de puntos $p$ tal que $G_p$ es no trivial es infinito y acotado. Por lo tanto, podemos encontrar una secuencia de puntos distintos $(p_i)$ tal que $G_{p_i}$ no es trivial para todo $i$ y $p_i$ converge a algún punto $p\in\mathbb{R}^2$ . Dado que los números $n_{p_i}$ deben ser todos relativamente primos, deben ir al infinito. Esto significa que para cualquier ángulo $\theta$ podemos encontrar una rotación alrededor de un punto arbitrariamente cercano a $p$ en un ángulo arbitrariamente próximo a $\theta$ que fija $K$ : a saber, elige $p_i$ para $i$ lo suficientemente grande como para que $p_i$ está lo suficientemente cerca de $p$ y $n_{p_i}$ es lo suficientemente grande como para que $\theta$ se acerca lo suficiente a un múltiplo de $2\pi/n_{p_i}$ . Tales rotaciones convergerán en un punto hacia una rotación de un ángulo de $\theta$ centrado en $p$ . Desde $K$ es cerrado, se deduce que la rotación en un ángulo de $\theta$ centrado en $p$ mapas $K$ a sí misma. Pero $\theta$ era arbitraria, así que esto significa $G_p$ es infinito, lo cual es una contradicción.