Forma poco ortodoxa de obtener la media de dos números

Question

No puedo creer el método alternativo que acabo de ver para calcular la media de dos números:

I use the following:
(a+b)/2 = avrg(a,b)
(b+a)/2 = avrg(a,b)

Found someone using this:
a+((b-a)/2) = avrg(a,b)
b+((a-b)/2) = avrg(a,b)

Cómo calcular avrg(a,b,c) utilizando el segundo método? (por ejemplo, para el primero es (a+b+c)/3 )

¿Cómo puedo transformar la primera en la segunda, o bien encontrar alguna prueba de que ambas son igualmente iguales?

Answer 1

En la geometría afín, una propiedad general de los baricentros es que pueden calcularse utilizando cualquier punto base $P$ . Así que si $A_1,\ldots,A_n$ son puntos y $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ pesos asociados con masa total no nula $\mu=\lambda_1+\cdots+\lambda_n$ entonces el baricentro es $$ P+\frac1\mu \left(\lambda_1\overrightarrow{PA_1}+\cdots+\lambda_n\overrightarrow{PA_n} \right) \tag1 $$ y esto no depende en la elección de $P$ (prueba fácil). Nótese que la expresión $$ \frac{\lambda_1A_1+\cdots+\lambda_nA_n}\mu,\tag2 $$ aunque da la respuesta correcta en coordenadas, no tiene ningún sentido geométrico, ya que no se pueden sumar puntos ni multiplicar por escalares; lo que sí se puede hacer es formar combinaciones lineales de vectores y sumarlos a puntos, que es lo que $(1)$ lo hace. Que en coordenadas $(2$ ) da la respuesta correcta, es porque esto elige secretamente algún origen arbitrario $O$ y luego confunde cualquier punto $A$ con el vector $\overrightarrow{OA}$ (ambos con las mismas coordenadas), lo que convierte a $(2)$ en $(1)$ para $P=O$ .

Obsérvese que en $(1)$ se puede hacer que uno de los vectores sea cero eligiendo $P=A_i$ para algunos $~i$ .

Ahora bien, tomar promedios puede verse como un caso especial de cálculo de baricentros, en un $1$ -y con $\lambda_1=\cdots=\lambda_n=1$ . Elección de $P$ sea uno de los valores a promediar, se obtiene una fórmula para la media partiendo de ese valor y añadiendo $\frac1n$ veces las diferencias con los otros valores. O se podría tomar $P$ para ser cualquier estimación inicial de la media, lo que puede ser práctico si los valores a promediar se encuentran cerca.

Answer 2

$a+\frac{b-a}{2}=\frac{2a+b-a}{2}=\frac{a+b}{2}$ o al revés:

$\frac{a+b}{2}=\frac{2a+b-a}{2}=a+\frac{b-a}{2}$

Answer 3

Para su ejemplo, $a + \frac{b-a}{2} = \frac{2a}{2} + \frac{b-a}{2} = \frac{2a + b - a}{2} = \frac{a+b}{2}$ pero no estoy muy seguro de lo que quieres decir con promediar tres números con este método.