No puedo creer el método alternativo que acabo de ver para calcular la media de dos números:
I use the following:
(a+b)/2 = avrg(a,b)
(b+a)/2 = avrg(a,b)
Found someone using this:
a+((b-a)/2) = avrg(a,b)
b+((a-b)/2) = avrg(a,b)Cómo calcular avrg(a,b,c) utilizando el segundo método? (por ejemplo, para el primero es (a+b+c)/3 )
¿Cómo puedo transformar la primera en la segunda, o bien encontrar alguna prueba de que ambas son igualmente iguales?
Observe que $$ a+\frac{b-a}{2} = \frac{2a}{2} + \frac{b-a}{2} = \frac{2a+b-a}{2} = \frac{a+b}{2}. $$ Se puede hacer lo mismo para $$ b+\frac{a-b}{2} = \frac{a+b}{2}. $$ Y para la media de tres números $a,b,c$ , $$ \operatorname{avg}(a,b,c) = a + \frac{b-a}{3}+\frac{c-a}{3} = \frac{a+b+c}{3}. $$ Puede "cambiar" el $a,b,c$ anterior para obtener tres expresiones diferentes, pero similares. Se demuestra que son "igualmente iguales" (¡como tú dices!) por el enfoque que adoptamos anteriormente para demostrar la igualdad en el caso de dos números.
Y podrías hacer esto para algunos $n$ números $a_1,\dots,a_n$ de la siguiente manera: $$ \operatorname{avg}(a_1,\dots,a_n) = a_i+\sum_{k\neq i} \frac{a_k-a_i}{n} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k $$ para cada $i\in\{1,2,\dots,n\}$ . ¿Puedes demostrar que son iguales? :-)
Este es un paso en una forma iterativa de calcular la media de $N$ números:
Suponga que tiene una secuencia de $N$ números $x_i$ . Sea
$$ \bar{x}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $$
es decir, la media de la primera $n \le N$ de ellos.
Entonces $$ \bar{x}_{n+1} = \bar{x}_{n} + \frac{ x_{n+1} - \bar{x}_n}{n+1} $$
Dejaré la prueba de este caso general al lector.
Este enfoque iterativo (en marcha) para sacar la media tiene ventajas cuando se hacen cálculos numéricos en un ordenador.
Para $n=2$ $x_i = [a,b]$ se obtiene la forma indicada en su pregunta:
$$ \bar{x}_1 = a \\ \bar{x}_2 = \bar{x}_1 + (b-\bar{x}_1)/2 = a+(b-a)/2 $$
Para $n=3$ , $x_i=[a,b,c]$ se podría escribir como
$$ \bar{x}_{2} = a+(b-a)/2 \\ \bar{x}_3 = \bar{x}_2 + (c-\bar{x}_2)/3 $$ Dejaré que el lector se explaye $\bar{x}_2$ en la expresión final.
El método se ejecuta de la siguiente manera:
Elige un número.
Haz que sea el nuevo (falso) origen (cero) restándolo de todos los demás.
Ahora promedia esos residuos.
Por lo general, puedes promediar los residuos más fácilmente (especialmente en tu cabeza) haciendo primero la división, es decir, dividiendo cada uno de los residuos por el número de valores que tienes (incluyendo el falso origen), y luego sumando esos resultados.
Ahora añade la media de los residuos al número que elegiste primero.
Esta eliminación de un origen falso también puede ser útil en los cálculos reales de ingeniería, ya que hace que los valores y el proceso sean más fáciles de comprender y comprobar.
Hay muchas fórmulas matemáticas que preponderan los valores de desplazamiento para evitar la confusión sobre el número aparente de variables. Es un "truco" que vale la pena aprender ;-)
Es evidente que $a+\frac{b-a}{2}=a+\frac b2-\frac a2=\frac a2+\frac b2=\frac{a+b}{2}$ .
Para utilizar una expresión similar para la media de tres números, considere el hecho de que $a+\frac{b-a}{3}+\frac{c-a}{3}=\frac{a+b+c}{3}$ .
De la misma manera, $a+\frac{b-a}{4}+\frac{c-a}{4}+\frac{d-a}{4}=\frac{a+b+c+d}{4}$ para cuatro números, y el patrón continúa.
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