Para $\Delta ABC$ triángulo rectángulo en $A$ tienen $AB=AC$ . Calcule la relación de $MA: MB: MC$

Question

Para $\Delta ABC$ triángulo rectángulo en $A$ tienen $AB=AC$ , suponiendo en el triángulo que el punto M satisface $\widehat{MBA}=\widehat{MAC}=\widehat{MCB}$ . Calcule la relación de $MA: MB: MC$

Dejemos que la secuencia D,E sean circunscripciones centrales ABM, CAM

$\widehat{MAC} =\widehat{MBA}$

\=>AC es la tangente del círculo (D)

\=>CA_|_ DA=> $D\in AB$

Así que $DA =DB$ =>D punto medio de AB

Tenga $\widehat{MCB} =\widehat{MAC}$

\=>BC es la tangente de d y la perpendicular media de AC

(D) cortar BC en F =>AF_|_BC y F punto medio BC

Tenga $\widehat{MBA} =\widehat{MCB}$ y $\widehat{MAB} =\widehat{MFC}$ (cuadrilátero cíclico AMFB)

\=> $\triangle MAB \sim\triangle MFC$ => $\frac{MA}{MB} =\frac{MF}{MC}(1)$

Tenga $FA=\frac{BC}{2}=FC$

\=>FE es la media perpendicular AC

FE cortar AC en G. Tener $\widehat{AGF} =\widehat{CGE}, \widehat{AFG} =\widehat{CEG}$ ; $GA;GC$

\=> $\triangle AGF =\triangle CGE$

............. blah blah

$$\Rightarrow MA:MB:MC=1:2:\sqrt{2}$$

Este es mi intento, es muy largo y difícil, porque necesito un nuevo método

Answer 1

Olvídate de los círculos.

Triángulo de escala $ABC$ para que $AB = 1,\;AC = 1,\;BC=\sqrt{2}$ .

Dejemos que $\;u = MA,\;v = MB,\;w = MC$ .

Dejemos que $\theta$ sea la medida de grado común de los ángulos $MBA,\;MAC,\;MCB$ .

Persiguiendo algunos ángulos, obtenemos $$\angle MAC = \theta,\;\angle ACM = 45-\theta,\;\angle CMA=135$$ $$\angle MCB = \theta,\;\angle CBM = 45-\theta,\;\angle BMC=135$$ Así, los triángulos $MCB$ y $MAC$ son similares, por lo que, igualando las proporciones de los lados correspondientes, obtenemos $$\frac{\sqrt{2}}{1}=\frac{v}{w}=\frac{w}{u}$$ De ello se desprende que $$u\;\colon v\;\colon w = 1\;\colon 2\;\colon \sqrt{2}$$

Answer 2

Dejemos que $\,\widehat{MBA}=\alpha=\widehat{MCB}=\widehat{MAC}\,$ Entonces:

$$\require{cancel} \widehat{AMB}= \pi - \widehat{MBA}-\widehat{MAB}= \pi - \widehat{MBA}-\left(\frac{\pi}{2}-\widehat{MAC}\right)=\pi-\bcancel{\alpha}-\left(\frac{\pi}{2}-\bcancel{\alpha}\right)=\frac{\pi}{2} $$

De la misma manera, $\,\widehat{BMC}=\pi-\left(\cfrac{\pi}{4}-\bcancel{\alpha}\right)-\bcancel{\alpha}=\cfrac{3\pi}{4}\,$ Así que $\,\widehat{CMA}=2 \pi - \widehat{AMB} - \widehat{BMC}=\cfrac{3\pi}{4}\,$ .

Entonces, por la ley de los senos:

• $\;\triangle MAB\,$ : $\;\;MA / \sin(\alpha) = AB / \sin(\pi/2) = AB$

• $\;\triangle MBC\,$ : $\;\;MB / \sin(\alpha) = BC / \sin(3\pi/4) = \sqrt{2} \,BC = 2 \,AB$

• $\;\triangle MCA\,$ : $\;\;MC / \sin(\alpha) = AC / \sin(3\pi/4) = \sqrt{2} \,AC = \sqrt{2} \,AB$

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[ EDITAR  ( +fijar ) ] También cabe destacar que lo anterior da $\alpha=\arctan(1/2)$ , por lo que el punto $\,M\,$ está determinada de forma única por las condiciones, y la construcción puede resolverse completamente. Pedir sólo los cocientes de las distancias a los vértices parece más bien una diversión.