Encuentra todos los enteros positivos $n$ tal que $3^n+5^n = x^3$

Question

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tal que $3^n+5^n = x^3$ para algún número entero positivo $x$ .

Una solución es $n = 1, x = 2$ .

Tenemos $1 < 3^n+5^n \leq 8^n$ Así que $1 < 3^n+5^n \leq 2^{3n}$ . Así, $1 < x \leq 2^n$ . ¿Cómo podemos continuar desde aquí?

Answer 1

Módulo $9$ , si $n>1$ la ecuación se simplifica a $5^n\equiv x^3 \pmod 9$ . Porque los cubos mod 9 son $0,1,8$ y $5^n \pmod 9$ se repite con el punto $\phi(9)=6$ con el patrón (a partir de $n=0$ ) $1,5,7,8,4,2,\ldots$ tenemos que $n$ es un múltiplo de $3$ (si $n>1$ ).

Sin embargo, trabajar con el módulo $7$ , donde $3^n+5^n$ también tiene el periodo $\phi(7)=6$ vemos que $3^{3k}+5^{3k}$ nunca es un cubo mod 7. (Los cubos son 0,1,6, y $3^n+5^n$ repite $2,1,6,5,6,1,\ldots,$ pero tampoco $2$ ni $5$ son cubos).

Por lo tanto, si $n>1$ combinando ambos resultados, vemos que no hay soluciones. Sin embargo, $n=1, x=2$ es una solución. Por lo tanto, es la única solución.