Espacio métrico tiene a lo más una isométrie distintos de identidad

Question

¿Me podrias ayudar con este problema?

Que $d$ sea una métrica en $[0,1]$ compatibles con la topología estándar. Demostrar que el espacio métrico: $([0,1], d)$ tiene a más de una isometría (a excepción de identidad).

Realmente agradeceria su ayuda.

Gracias.

Answer 1

Aviso de que es suficiente para demostrar que una isometría que fija los extremos de la identidad.

Supongamos que, a continuación, $f:[0,1]\to[0,1]$ es una isometría tal que $f(0)=0$, y deje $x\in[0,1]$. Observe que $f$ es estrictamente increaing -porque es continua por la costumbre y topología de la inyectiva.

Es fácil comprobar que la secuencia de $(f^n(x))_{n\geq1}$ es monótona, por lo que converge con respecto a la topología usual de $[0,1]$. La hipótesis implica entonces que también converge con respecto a $d$ y, en particular, se cumple la condición de Cauchy. Desde $f$ es una isometría, $d(f^n(x),f^{n+1}(x))$ no depende de $n$ porque $f$ es una isometría, y, a continuación, la condición de Cauchy implica que esta distancia es igual a cero: en particular, $d(x,f(x))=0$$x=f(x)$.

Answer 2

Sugerencia: la Continuidad es una propiedad topológica.

Spoiler: la siguiente es La forma de una prueba.

1. Isometrías son funciones continuas.
2. La continuidad es una propiedad topológica.
3. Isometrías son bijections.
4. Continua bijections $([0,1],d_\textrm{Eucl.}) \to ([0,1],d_\textrm{Eucl.})$ son estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
5. Una estrictamente creciente bijective función de $[0,1]\to[0,1]$ que es una isometría w.r.t. la métrica $d$ es único.
6. Del mismo modo para una estrictamente decreciente bijective función.

Edit: Para el punto 5, suponga $f,g$ ambos tienen esta propiedad. A continuación, considere la posibilidad de $h=f^{-1}\circ g$. Esta es una continua bijection (verificación), por lo que es estrictamente creciente/decreciente. Supongamos $h(x)\neq x$. A continuación,$d(h^n(x),h^{n-1}(x)) = d(h(x),x)\neq 0$. Pero vamos a $n\to\infty$; por monotonía, $h^n(x)\to x_0$, y por la continuidad, $d(h^n(x),h^{n-1}(x)) \to 0$. Contradicción.