Sí, sí! En la categoría de enfoque teórico de la lógica formal, los modelos de las teorías son generalmente de algún tipo de functor, y las teorías en sí mismas son generalmente hechas en una categoría de una especie, posiblemente junto con las condiciones adicionales.
Un enfoque que es conveniente es el uso de bocetos. Un boceto es una categoría junto con una selección de los conos y cocones que están destinados a ser los límites y colimits; por lo tanto, un modelo de un bosquejo es un functor que toma los conos y los cocones y asigna a los límites y colimits en la categoría de destino. (y los morfismos de los modelos son de hecho las naturales transformaciones entre tales functors)
(nota de cómo fácilmente este enfoque permite definir modelos de otras categorías de $\mathbf{Set}$!)
por ejemplo, su sugerencia acerca de los magmas es exactamente esto. Tomamos la categoría de los croquis (ver wikipedia o ncatlab) a la presentada en el gráfico
$$ M^2 \begin{matrix}\xrightarrow{p_1}\\\xrightarrow{p_2}\\\xrightarrow{\mu}\end{matrix} M$$
y se especifica que el cono
$$ M \xleftarrow{p_1} M^2 \xrightarrow{p_2} M $$
debe haber un límite. Un modelo de este boceto en $\mathbf{Set}$, entonces, es exactamente lo que usted describe.
Para un monoid, sin embargo, nos quieren otro boceto. También, debemos tener la más algebraicas definición de monoid, donde hay una constante $i$ la satisfacción de los axiomas de un multiplicativo de la unidad, en lugar de la afirmación existencial de "existe una multiplicación de la unidad".
El habitual dibujo de una monoid necesidades cuatro objetos: $M^0, M^1, M^2, M^3$. Se incluyen flechas $M^0 \xrightarrow{i} M^1$ para la identidad, y $M^2 \xrightarrow{\mu} M^1$ para el producto. Pero nuestra categoría también tiene un diagrama conmutativo
$$\begin{matrix} M^3 & \xrightarrow{\mu \times 1_M}& M^2
\\ \downarrow{1_M \times \mu} & & \downarrow{\mu}
\\ M^2 &\xrightarrow{\mu}& M^1 \end{de la matriz}$$
y del mismo modo, otros dos diagramas que expresan los axiomas para la multiplicación de la unidad debe también viajan.
Recordemos que podemos presentar una categoría mediante la especificación de un gráfico y tomando la libre categoría en dicho gráfico, la especificación de un conjunto de ecuaciones (en forma de diagramas conmutativos, si nos gusta!) y modding a cabo por la congruencia de relación que generan. Para los datos anteriores, realmente no formemos una categoría. (Pero no es terriblemente útil para moler a través de todos los detalles de exactamente el conjunto de morfismos de la categoría)
Por supuesto, también podemos especificar el conjunto de conos que insisten en que $M^0$ es un terminal de objeto y $M^2$ $M^3$ son productos adecuados, y también tenemos que añadir en la conmutativa diagramas que insisten $\mu \times 1_M$ es realmente el morfismos que le da $\mu$ $1_M$ después de componer con las correspondientes proyecciones, y así sucesivamente.
A menos conveniente enfoque (pero que no requieren el desarrollo de bocetos) que trabaja esencialmente para algebraica de las teorías es la de definir una teoría para ser un Cartesiano categoría (es decir, todos los límites finitos). A continuación, un modelo de la teoría es un functor de esta categoría, que preserva límites finitos. Morfismos de modelos aún son naturales transformaciones.
En este enfoque, sin embargo, la categoría de la teoría de los magmas $T$ es el opuesto de la categoría a la categoría de finitely presentado magmas (como se define en el conjunto habitual teórico de la forma).
Aparte de la definición de la noción de un Cartesiano categoría presentada por un límite de croquis, que yo sepa no hay forma más sencilla descripción de la categoría descrita anteriormente.
Para ayudar a envolver su cabeza en torno a esto, cada finitely presentado magma puede ser considerado como la expresión formal de la "construcción" -- de la misma manera que la libre de magma en $n$ objetos tiene la interpretación como el conjunto de todos los $n$-ary las operaciones, y por lo que le da un conveniente la realización de la categoría formal de "construcciones" uno puede hacer de una determinada magma el uso de productos y ecualizadores. (y magma morfismos dar realizaciones de las relaciones entre ellos)
