¿Pueden ambos $n+3\; \text{and}\; n^2+3$ ambos números cúbicos al mismo tiempo?

Question

¿Pueden ambos $n+3\; \text{and}\; n^2+3$ ambos número cúbico al mismo tiempo? Donde $n$ es un número entero. No es necesariamente positivo.

He intentado escribir $x^3 = n+3$ y expresando $n^2+3$ $x$. Encontré $x^6 -6x^3+12$ pero esto no ayuda. ¿Cómo probar esto?

Answer 1

Un poco overkill, pero si $n + 3$ y $n^2 + 3$ son dos cubos, entonces así que es su producto y así

$$ (n + 3)(n^2 + 3) = n^3 + 3n^2 + 3n + 9 = (n + 1)^3 + 2^3 $$

sería un cubo. Pero como es bien sabido, el sólo posibles soluciones a esto puede ocurren cuando uno de los cubos es $0$, así que tenemos ya sea $n = -3$ o $n = -1$ y podemos comprobar que ninguno de éstos generar soluciones.

Answer 2

Tu pregunta es preguntar si hay $x,a \in \mathbb{Z}$ $$x^6-6x^3+12=a^3$ $ tenga en cuenta que si tenemos $x \ge 2, x \le -2$, entonces tenemos que $$(x^2-1)^3 = x^6-3x^4+3x^2-1 < x^6-6x^3+12=a^3$ $ y también $$(x^2+1)^3 =x^6+3x^4+3x^2+1 > x^6-6x^3+12=a^3$ $ esto darnos $x^2-1<a<x^2+1$, obligando a $a$ $x^2$ que. Sin embargo, $x^3 \neq 2$para cualquier número entero $x$ %, esto es una contradicción.

La única izquierda de casos es $x=-1, 0,1 $, que puede controlarse manualmente para nunca ser cubos.