Suponiendo que las fórmulas $$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\quad\text{and}\quad\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right),$$ I want to find the Hadamard product of $e^z-1$. I think I've done the work correctly, but I end up having an extra factor of $2\pi i$ al final (esto es de Stein y Shakarchi del libro y de la lista de la respuesta para este problema en particular). Por lo tanto, mi trabajo es \begin{align} e^z-1&=e^{z/2}\left(e^{z/2}-e^{-z/2}\right)\\ \\ &=e^{z/2}\left(e^{i(-iz/2)}-e^{-i(-iz/2)}\right)\\ \\ &=2ie^{z/2}\left(\frac{e^{i(-iz/2)}-e^{-i(-iz/2)}}{2i}\right)\\ \\ &=2ie^{z/2}\sin(-iz/2)\\ \\ &=2\pi i ze^{z/2}\frac{\sin(-iz/2)}{\pi z}\\ \\ &=2\pi i ze^{z/2}\frac{\sin\left(\pi(\frac{-iz}{2\pi})\right)}{\pi z}\tag{*}\\ \\ &=2\pi i ze^{z/2}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{\left(\frac{-iz}{2\pi}\right)^2}{n^2}\right)\\ \\ &=2\pi i ze^{z/2}\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{z^2}{4n^2\pi^2}\right). \end{align}
La respuesta, según el libro es $$e^z-1=e^{z/2}z\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{z^2}{4n^2\pi^2}\right).$$he hecho un simple error de cálculo, o son los dos de alguna manera compatible con otras?
Actualización: Thomas Andrews ha señalado un error en mi infinita fórmula del producto. He corregido ese error.
$(*)$ Se produce el error de esta línea a la siguiente. En lugar de multiplicar y dividir por $z$, debería haber multiplicado y dividido por $\frac{-iz}{2\pi}$. Que pudiera causar la cancelación correspondiente.
