Un polinomio ciclotómicas cuyo índice tiene un divisor principal grande no pueden ser demasiado escasa

Question

Trabajando en esta reciente MSE pregunta, me llevó a la siguiente conjetura :

Supongamos que $n$ es un número entero con al menos un divisor primo $\geq 7$. Entonces $\Phi_n$ tiene al menos siete no-cero de los coeficientes.

He comprobado esta conjetura a a $n\leq 10^5$. No es difícil tratar el caso al $n$ es de la forma$p^a$$p\geq 7$. En el caso general, $n$ será de la forma $n=p^a m$ $m$ coprime a $p$, y $\Phi_n=\Phi_{p^{a}}\Phi_m$. ¿Qué es claro, para mí, es cómo no-cero de los coeficientes son algo "conservada", cuando multiplicamos por $\Phi_m$ donde $m$ es coprime a $p$.

ACTUALIZACIÓN (10/18/2014) : podemos suponer sin pérdida de generalidad que $n$ es la plaza libre. De hecho, vamos a $n=\prod_{k=1}^r {p_k}^{a_k}$ ser la factorización prima de $n$, con el primer $p_k$$a_k\geq 1$. Deje $m=\prod_{k=1}^r p_k$ ser la plaza de la parte libre de $n$. Si $\zeta$ $n$- ésima raíz de la unidad, entonces es una primitiva $n$-ésima raíz de la unidad iff $\zeta^\frac{n}{m}$ es una primitiva $m$-ésima raíz de la unidad. De ello se sigue que $\Phi_{n}(X)=\Phi_{m}(X^\frac{n}{m})$, por lo que el $\Phi_n$ $\Phi_m$ comparten el mismo número de no-cero de los coeficientes.

Answer 1

Aquí está mi prueba de la conjetura. Como usted ha mencionado, podemos asumir que $n=pm$, de modo que $p$ no divide $m$.

Supongamos que la conjetura es falsa y $\Phi_n(x)$ tiene más de $p-1$ cero los coeficientes: $$ \Phi_n(x) = \sum_{\ell=1}^{p-1} a_{d_\ell} x^{d\ell} $$ con algunos exponentes $d_1,\ldots,d_{p-1}$ y entero de los coeficientes de $a_{d_1},\ldots,a_{d_{p-1}}$.

Por el principio del palomar, hay algunos entero $u$ tal que ninguno de $d_1+u$, ..., $d_{p-1}+u$ es divisible por $p$. Tomar una $u$. Deje $\varepsilon=e^{2\pi i/n}$$\varrho=e^{2\pi i/p}=\varepsilon^m$, y considerar la siguiente expresión: $$ S = \sum_{j=1}^p \varepsilon^{jum} \Phi_n(\varepsilon^{jm+1}). $$ Entre los números de $m+1,2m+1,\ldots,pm+1$, precisamente, uno es divisible por $p$; los otros son co-prime con $n=mp$. Así, entre las $\varepsilon^{m+1},\ldots,\varepsilon^{pm+1}$ hay $p-1$ primitiva $n$th raíces de la unidad y un número de orden menor, es decir,$m$. Por lo tanto, los números $\Phi_n(\varepsilon^{m+1}),\Phi_n(\varepsilon^{2m+1}),\ldots,\Phi_n(\varepsilon^{pm+1})$ son todos ceros excepto exactamente uno. Por lo tanto, $S\ne0$.

Por otro lado, $$ S = \sum_{j=1}^{p} \varepsilon^{jum} \sum_{\ell} a_{d_\ell} \varepsilon^{(jm+1)d_\ell} = \sum_{\ell} a_{d_\ell} \varepsilon^{d\ell} \sum_{j=1}^{p} \varepsilon^{jm(d_\ell+u)} = \sum_{\ell} a_{d_\ell} \varepsilon^{d\ell} \sum_{j=1}^{p} \varrho^{j(d_\ell+u)}. $$

Es bien conocido que $\sum\limits_{j=1}^p \varrho^{jK}=0$ para todos los enteros $K$ que no son divisibles por $p$. Aplicando esto a $K=d_1+u,\ldots,d_{p-1}+u$, podemos ver que $$ S = \sum_{\ell} a_{d_\ell} \varepsilon^{d\ell} \sum_{j=1}^p \varrho^{j(d_\ell+u)} = \sum_{\ell} a_{d_\ell} \varepsilon^{d\ell} \cdot 0 = 0. $$

Hemos demostrado tanto en$S\ne0$$S=0$, la hipótesis debe ser verdadera.

De hecho, hemos demostrado que los exponentes que se producen en $\Phi_n$ constituyen un residuo del sistema modulo $p$.