¿Cómo calcular el área de una región con un límite de curva cerrada plano?

Question

Bajo las condiciones del Teorema de Green, el área de una región $R$ cerrado por una la curva de $C$ es

$$\oint_C x \, dy=-\oint_C y \, dx=\frac{1}{2}\oint_C (x \, dy - y \, dx)$$

He intentado utilizar el resultado para calcular el área de la región definida por el plano siguiente curva:

$$ \begin{cases} x &= -9 \sin (2 t)-5 \sin (3 t) \\[6pt] y & = 9 \cos (2 t)-5 \cos (3 t) \end{casos} $$

pero obtuvo $87\pi$, que no parece ser correcto desde el siguiente comparación simple (el círculo tiene un radio de $\sqrt{87}$).

¿Cómo debo usar el Verde del teorema en este caso? Lo que sería una manera más conveniente para calcular el área encerrada por un avión de la curva?

Answer 1

Deje $A$ el valor del área de una de las cinco triangular "puntos" y $B$ el área de la central del pentágono. Su Verde del teorema de la integral doble cuenta $B$, por lo que su valor es $5A + 2B$, mientras que usted desea encontrar $5A + B$.

Deje $t_{0}$ denotar la primera raíz de $x(t)$ mayor que $\pi$, es decir, el momento en el que la curva de la primera cruza el negativo $y$-eje después de llegar a la parte superior de la curva, y deje $C'$ denotar la cuasi triangular curva obtenida siguiendo $C$$\pi$$t_{0}$, el uso del segmento vertical para cerrar (sombreado). (A muy grandes rasgos, $t_{0}$ es en los alrededores de $1.575\pi$.)

Dos veces el "Verde del teorema integral" $C'$ es igual a $3A + B$.

Desde $$ B = (15 + 6B) - (15 + 5B) = 3\oint_{C} - 10\oint_{C'}; $$ el área deseada es $$ 5A + B = \oint_{C} - B = 10\oint_{C} - 2\oint_{C}. $$