¿Hay una forma fácil de saber cuántas raíces $f(x)$ tiene en $ \Bbb {Q}[x]/(f)$ dados los coeficientes del polinomio $f$ en $ \Bbb {Q}[x]$ ?
¿Hay una forma fácil de encontrar las raíces como expresiones racionales en $x$ ?
El ejemplo más fácil es un cuadrático puro: $X^2 + 7$ por ejemplo. Si $A$ es una raíz, entonces también lo es $−A$ . Buen aceite. $ \pm\sqrt {−7}$ .
Si el grupo Galois es abeliano (como para cualquier cuadrante), entonces todas las raíces pueden expresarse como polinomios en una raíz determinada. Sin embargo, no estoy seguro de cómo decir mirando el polinomio si su grupo Galois es abeliano, e incluso si lo es, no estoy seguro de cómo encontrar esas expresiones racionales para las otras raíces.
Podría ser útil ver algunos ejemplos no belgas (no Galois):
Si $A$ es una raíz de $X^6 + 2X^4 − 8$ Entonces $−A$ es también una raíz, pero su otra $4$ las raíces no pueden expresarse como funciones racionales de $A$ (asumiendo que todavía entiendo la teoría de Galois).
¿Hay alguna manera fácil (sin pedirle a un CAS que calcule el grupo Galois) de ver el otro $4$ raíces de $X^6 + 2X^4 − 8$ no puede expresarse como funciones racionales de $A$ ?
Este tenía la agradable característica de que era una función de $X^2$ así que fue fácil encontrar dos raíces. Para $X^6 − 2X^5 + 3X^3 − 2X − 1$ Todavía no he encontrado su otra raíz (incluso usando un CAS).
Si $A$ es una raíz de $X^6 − 2X^5 + 3X^3 − 2X − 1$ entonces lo que es una expresión racional en $A$ para otra raíz?
Todo esto surgió primero con el polinomio $x^4−4x^2+2$ donde varios argumentos ad hoc distintos eran suficientes, pero no sabía cómo saber si valía la pena probar mis argumentos ad hoc en otros polinomios. Si ayuda, las raíces son $A$ , $−A$ , $A^3−3A$ y $3A−A^3$ .
El contexto es el cálculo a mano y grados razonables (digamos $ \leq 10$ ), aunque no me opongo a tener un oráculo de evaluación polinómica que calcule $f(g(x)) \mod f(x)$ en $1$ segundo (así que "probar esta lista finita y no muy grande de posibles raíces" está bien).
Si a alguien le interesa, tengo curiosidad por saber qué significa en realidad el normalizador de un estabilizador de punto del grupo Galois en términos de la teoría de Galois. El índice del estabilizador de punto en su normalizador es el número de raíces de $f$ en $ \Bbb {Q}[x]/(f)$ pero no estoy seguro de si realmente significa algo útil.
