$L^1$ convergencia de convergencia de #% PDF vs %#% de CDFs

Question

Que $f_n$ denotar una secuencia de archivos PDF, y $F_n$ denotan la secuencia correspondiente de CDFs. Dado $L^1$ convergencia de los archivos PDF a un PDF $f$,

$$\int_\mathbb{R} |f_n(x) -f(x)| dx \rightarrow 0$$

Esto implica convergencia de $L^2$ de los CDFs correspondientes al % correspondiente de CDF $F$,

$$\int_\mathbb{R} \left(F_n(x) - F(x)\right)^2 dx \rightarrow 0$$

Answer 1

Primera nota de que $0\leqslant F(x),F_n(x)\leqslant 1$ todos los $n,x$$\sup_{n,x}|F_n(x)-F(x)|=2$. De ello se desprende que $$\sup_{n,x}(F_n(x)-F(x))^2\leqslant 2|F_n(x)-F(x)|.$$ De $L^1$ convergencia de $f_n$, la continuidad de la $F_n, F$, y nonnegativity de $f_n,f$, tenemos para cada una de las $t\in\mathbb R$ \begin{align} |F_n(t)-F(t)| &= \left| \int_{-\infty}^t f_n(x)\ \mathsf dx -\int_{-\infty}^t f(x)\ \mathsf dx\right|\\ &\leqslant \int_{-\infty}^t |f_n(x)-f(x)|\ \mathsf dx\\ &\leqslant \int_{\mathbb R} |f_n(x)-f(x)|\ \mathsf dx\stackrel{n\to\infty}\longrightarrow 0, \end{align} y, por tanto, $F_n$ converge en distribución a $F$. De hecho, como $F$ $F_n$ son acotados, continua y monótona, se sigue de Pólya la extensión del teorema de Dini (cf. *Problemas y Teoremas en el Análisis, I, p. 270) que $F_n$ converge uniformemente a $F$ sobre cualquier subconjunto compacto de $\mathbb R$. Desde $F$ es un CDF, se puede extender a una función continua $\overline F$ sobre la prórroga del real de la línea de $[-\infty,\infty]$ por $\overline F(-\infty)=0$, $\overline F(\infty)=1$ (y lo mismo para $F_n$, y por lo tanto $F_n$ converge uniformemente a$F$$[-\infty,\infty]$. Desde $F$ $F_n$ son uniformemente continuas, dado $\varepsilon>0$ podemos optar $N$, de modo que $n\geqslant N$ implica $$\sup_{x\in\mathbb R}|F_n(x)-F(x)|<\varepsilon. $$ Then $$\int_{\mathbb R} (F_n(x)-F(x))^2\ \mathsf dx\leqslant 2 \int_{\mathbb R}|F_n(x)-F(x)|\ \mathsf dx\stackrel{n\to\infty}\longrightarrow 0$$ de modo que $F_n$ converge a$F$$L^2$.