Estadística de aproximación de las series de Taylor

Question

Cómo puedo mostrar lo siguiente:

Dejemos que $X_1, X_2,\ldots, X_n$ sea i.i.d Poisson con media $\lambda$ . Sea $Y = |\{i: X_i =0\}|$ . Entonces $\lambda$ se estima mediante

$$\eta = - \log(Y/n)$$

Utiliza las series de Taylor para encontrar la aproximación de E( $\eta$ ) y Var( $\eta$ )

Gracias.

¡No sé en torno a qué punto tomar la serie Taylor por favor ayuda!

Answer 1

Tenemos que $P(X_i = 0) = e^{-\lambda}$ . Así que cuando $n$ es grande tenemos que $Y/n \approx e^{-\lambda}$ Esto se puede ver a partir del teorema ergódico o, de forma equivalente, aplicando la ley de los grandes números a las variables de Bernoulli $1_{\{X_i=0\}}$ . Por lo tanto, debe hacer la expansión alrededor de $e^{-\lambda}$

Answer 2

Dejemos que $Y_i=\mathrm e^\lambda\mathbf 1_{X_i=0}-1$ et $Z_n=\frac1n\sum\limits_{i=1}^nY_i$ entonces $\mathbb E(Y_i)=0$ , $\mathrm{var}(Y_i)=\mu$ con $\mu=\mathrm e^\lambda-1$ y, por el teorema del límite central, $Z_n\to0$ más o menos como $\frac1{\sqrt{n}}$ .

Cuando $z\to0$ , $\log(1+z)=z-\frac12z^2+o(z^2)$ por lo que $$ \eta_n=\lambda-\log(1+Z_n)=\lambda-Z_n+\frac12Z_n^2+\varepsilon_n, $$ para algún término de error $\varepsilon_n$ más o menos de orden $\frac1{n\sqrt{n}}$ . En particular, $$ \mathbb E(\eta_n)=\lambda+\frac{\mu}{2n}+o\left(\frac1n\right). $$ Igualmente, $$ \eta_n^2=\lambda^2-2\lambda Z_n+(\lambda+1)Z_n^2+\varepsilon'_n, $$ para algún término de error $\varepsilon'_n$ más o menos de orden $\frac1{n\sqrt{n}}$ . En particular, $$ \mathbb E(\eta_n^2)=\lambda^2+(\lambda+1)\frac{\mu}n+o\left(\frac1n\right), $$ y $$ \mathrm{var}(\eta_n)=\frac{\mu}n+o\left(\frac1n\right). $$ Los dos resultados anteriores pueden resumirse como $$ 2n(\mathbb E(\eta_n)-\lambda)\to\mu,\qquad\mathrm{var}(\eta_n)\to\mu. $$