Estoy tratando de conseguir mi cabeza alrededor de la Mecha de la rotación de la técnica. He tratado de jugar con algunos ejemplos elementales. Imaginemos que necesito para resolver sobre la recta real $$ y' = \cos (x)$$ el primer denota la diferenciación. Puedo ver la función en la r.h.s como la parte real de una función compleja y re-formular la ecuación diferencial, ahora en la línea imaginaria ( supongo que esta es la "rotación"), como $$ y' = e^{ix} $$ Cuya solución es $$y = \frac{1}{i} e^{ix}$$ Ahora para obtener mi solución en la recta real tengo que volver a girar de nuevo, multiplicando por $$-i$$, and then take the imaginary part of the ensuing expression to get my solution $ y = - \sin (x)$. Es esto correcto,formalmente rigurosa aplicación de la Mecha de la rotación de la técnica? También me gustaría ser el más agradecido si alguien podría mostrarme un ejemplo elemental de analítica continuación por la Mecha de la rotación. Gracias
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$\newcommand{\Cpx}{\mathbf{C}}$No estoy seguro de que he visto una definición formal de "la Mecha de la rotación", pero probablemente me llame a su ejemplo "complejización" en lugar de "Mecha de rotación". "La mecha de la rotación", en mi experiencia, es más a lo largo de las líneas de sustitución de la métrica de Lorentz $dx^{2} - dt^{2}$ $1$- dimensiones espacio-tiempo con la métrica Euclidiana $dx^{2} - (i\, dy)^{2} = dx^{2} + dy^{2}$ mediante la introducción de $y = -it$.
En su situación, esto podría ser más análoga a la sustitución de la $y' = \cos(x)$$y' = i\cos(iu) = i\cosh(u)$, $x = iu$ y el factor de $i$ fuera de la $\cosh$ proveniente de la regla de la cadena. Luego de llegar (hasta una constante aditiva) $$ y = i\sinh(u) = i\sinh(-ix) = \sin(x), $$ como era de esperar. (Dicho esto, nunca he visto este tipo de cálculo llamado "la Mecha de la rotación".)
Según Goethe (en la libertad de parafrasear), "los Matemáticos...traducir todo lo que usted dice en su propio idioma, con lo cual es algo totalmente diferente." En el riesgo de hacer que a tu pregunta, parece que está "realmente" preguntando acerca de la continuación analítica (aunque no estoy seguro de que hay un "exacto" de la pregunta en el sentido de las Matemáticas.SE las directrices). En ese espíritu, aquí están algunos (de gran ayuda, espero) con hechos, ejemplos y ejercicios:
"La permanencia de la analítica de las identidades": Si $f$ es un real-analítica de la función de la satisfacción de una identidad funcional, tales como $$ f(x + y) = f(x) \cdot f(y) \quad\text{para todo real $x$$y$,} $$ y si $F$ es un entero (complejo-analítica en todo el plano complejo) función tal que $F(x) = f(x)$ para todos los verdaderos $x$, $F$ satisface la misma identidad, aquí $$ F(w + z) = F(z) \cdot F(w) \quad\text{para todo el complejo $z$$w$.} $$ La idea es simple matemática de arranque: Una función que se desvanece en el eje real es bien conocido a desaparecer de forma idéntica en el plano complejo. Usando el ejemplo anterior, fijar un número real $w$, y considerar la totalidad de la función de $G$ definido por $$ G(z) = F(z + w) - F(z) \cdot F(w). $$ Desde $G$ se desvanece en el eje real, $G(z) = 0$ para todo el complejo de $z$. Desde $w$ era un número real arbitrario, $F(z + w) - F(z) \cdot F(w) = 0$ para todo el complejo de $z$ y todo bien $w$. Es decir, si fijamos arbitrariamente complejas $z$ y definen $H(w) = F(z + w) - F(z) \cdot F(w)$, $H$ es todo y se desvanece en el eje real, por lo $H(w) = 0$ para todos los _complex $w$; desde $w$ fue arbitraria, $F(z + w) - F(z) \cdot F(w) = 0$ para todo el complejo de $w$$z$.
Si $f(x) = \sum_{k} a_{k} (x - x_{0})^{k}$ es un real-analítica de la función en algún intervalo abierto, no hay un único continuación analítica $F(z) = \sum_{k} a_{k} (z - x_{0})^{k}$ definido en algunas de disco centrado en $x_{0}$. Por ejemplo, las extensiones de $\exp$, $\cos$, y $\sin$, la escritura $z = x + iy$ $x$ $y$ real, \begin{align*} \exp(z) &= e^{x} e^{iy} = e^{x} \cos y + ie^{x} \sin y, \\ \cos(z) &= \cos(x) \cos(iy) - \sin(x) \sin(iy) = \cos(x) \cosh(y) - i\sin(x) \sinh(y), \\ \sin(z) &= \sin(x) \cos(iy) + \cos(x) \sin(iy) = \sin(x) \cosh(y) + i\cos(x) \sinh(y). \end{align*} Las expansiones de la derecha vienen de permanencia de la analítica de identidades, junto con las identidades algebraicas $$ \a la izquierda. \begin{alignedat}{2} \cos(iy) - i\sin(iy) &= e^{y} &&= \cosh(y) + \sinh(y) \\ \cos(iy) + i\sin(iy) &= e^{-y} &&= \cosh(y) - \sinh(y) \end{alignedat}\right\}\quad \text{para todo real $y$,} $$ que de inmediato se implican $\cos(iy) = \cosh(y)$ $\sin(iy) = i\sinh(y)$ para todos los verdaderos $y$.
En los siguientes ejemplos, vamos a $D = \Cpx \setminus(-\infty, 0]$ ser el "plano de la rendija", y escribir el elemento general de la $D$ únicamente como $z = re^{i\theta}$$r > 0$$-\pi < \theta < \pi$.
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La función de $f(x) = \sqrt{x}$, que se define para todos los positivos real $x$, tiene la única continuación analítica $F:D \to \Cpx$ definido por $$ F(z) = F(re^{i\theta}) = \sqrt{r} e^{i\theta/2}. $$ Es fácil comprobar la $F(z)^{2} = z$ todos los $z$$D$, e $F(x) = f(x)$ para todos los reales positivos $x$. Además, $F$ no tiene extensión continua sobre el eje real negativo, ya que para todas las $r > 0$, $$ \lim_{\theta \nearrow \pi} F(r e^{i\theta}) = -\lim_{\theta \searrow -\pi} F(r e^{i\theta}) = i\sqrt{r} \neq 0. $$
Ejercicio: Demostrar que la "doble función con valores de" $z \mapsto \pm F(z)$ se extiende holomorphically sobre la negativa de reales en el siguiente sentido: Si $D' = \Cpx \setminus [0, \infty)$ y se escribe el elemento general de la $D'$ únicamente como $z = re^{i\theta}$$r > 0$$0 < \theta < 2\pi$, entonces la función $$ G(z) = G(re^{i\theta}) = \sqrt{r} e^{i\theta/2} $$ es analítica en $D'$, y para todos los $z$ $D \cap D'$ tenemos $\{\pm F(z)\} = \{\pm G(z)\}$ como conjuntos de números complejos. (Tenga en cuenta que $G = F$ en el abrir de la mitad superior del plano -, y $G = -F$ en la mitad inferior del plano -. Esta es la analítica, la versión de la famosa construcción de la superficie de Riemann de la función raíz cuadrada por "tomar dos copias de la hendidura del plano y de cruz, unir los bordes de las ranuras".)
Ejercicio: Si $h(x) = \sqrt[3]{x}$$x > 0$, escribir el único continuación analítica $H:D \to \Cpx$ y analizar su límite de comportamiento a lo largo del eje real negativo; ¿cómo los valores resultantes de comparar con la verdadera raíz cúbica de un número real negativo?
La función de $\ell(x) = \log(x)$ únicas continuación analítica $L:D \to \Cpx$ definido por $$ L(z) = \ell(r) + i\theta. $$ Es fácil comprobar la $\exp\bigl(L(z)\bigr) = z$ todos los $z$$D$, e $L(x) = \ell(x)$ para todos los reales positivos $x$. Además, $L$ no tiene extensión continua sobre el eje real negativo, ya que para todas las $r > 0$, $$ \lim_{\theta \nearrow \pi} L(r e^{i\theta}) = \lim_{\theta \searrow -\pi} L(r e^{i\theta}) + 2\pi i. $$
Estos son algunos de los más simple no-trivial ejemplos de continuación analítica. En cada caso, no hay ninguna continuación analítica a través de un "mayor" abrir subconjunto del plano de $D$, aunque existen analítica de las continuaciones más diferentes bloques abiertos de $D$.
