Deje $f: \Bbb R \to \Bbb R$ ser una función derivable tal que $\sup_{x \in \Bbb R}|f'(x)| \lt \infty$. Entonces

Question

1. $f$ mapas de un almacén de secuencia a un almacén de la secuencia.
2. $f$ asigna una secuencia de Cauchy para una secuencia de Cauchy.
3. $f$ mapas convergente secuencia de una secuencia convergente.
4. $f$ es uniformemente continua.

Puedo elegir todas las opciones posibles respuestas, porque la condición de $\sup_{x\in \Bbb R}|f'(x)| \lt \infty$ fuerzas de $f$ a ser uniformemente continua.(Debido a que $f$ se convierte en Lipschitz y de Lipschitz condición implica uniforme de continuidad)

es decir, $\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \le \sup_{x\in \Bbb R}|f'(x)|$ $ \forall x,y$.

Por lo tanto todas las demás opciones están obligados a ser verdad.

Estoy en lo cierto?

Answer 1

Todas son correctas.

1. Si $\{x_n\}_{n\in\mathbb N}\subset\mathbb R$ es acotado, es decir, $\lvert x_n\rvert\le M<\infty$, luego $$ \lvert\,f(x_n)-f(x_1)\rvert=\lvert x_n-x_1\rvert\lvert f'(y_n)\rvert, $$ para algunos $y_n\in(x_1,x_n)$, en virtud de la Media del Teorema del Valor, y por lo tanto $$ \lvert\,f(x_n)\rvert\le \lvert\,f(x_1)\rvert +\lvert x_n-x_1\rvert\lvert f'(y_n)\rvert\le \lvert\,f(x_1)\rvert +2M \|f\|_\infty. $$

2. Si Si $\{x_n\}_{n\in\mathbb N}\subset\mathbb R$ es de Cauchy, entonces $$ \lvert\,f(x_m)-f(x_n)\rvert=\lvert\,f'(y_{m,n})\rvert\lvert x_m-x_n\rvert\le\|f\|_\infty \lvert x_m-x_n\rvert, $$ por lo tanto $\{f(x_n)\}_{n\in\mathbb N}$ Cauchy.

3. Si $x_n\to x$, luego $$ \lvert\,f(x_n)-f(x)\rvert=\lvert\,f'(y_n)\rvert\lvert x_n-x\rvert\le\|f\|_\infty \lvert x_n-x\rvert, $$ donde $y\in(x,x_n)$, y, por tanto,$f(x_n)\to f(x)$.

4. Si $x,y\in\mathbb R$, luego $$ \lvert\,f(x)-f(y)\rvert\le\|f\|_\infty \lvert x-y\rvert, $$ etc...